高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第四节 无穷小量的比较.pptVIP

* 第一章　函数　极限　连续 第四节　无穷小量的比较 　　定义　设 ? ( x ) 和 b ( x ) 为( x → x0 或 x → ?) 两个无穷小量. 若它们的比有非零极限， 若 c = 1，则称 ? ( x ) 和 b (x ) 为等价无穷小量， 则称 ? (x ) 和 b (x ) 为同阶无穷小. 并记为? ( x ) ~ b ( x )，( x → x0 或 x → ?) . 即 例如，在 x → 0 时 sin x 和 5 x 都是无穷小量， 且 所以当 x → 0 时，sin x 和 5 x 是同阶无穷小量. 又如，因为在 x → 0 时， x ，sin x，tan x， 1 - cos x，ln(1 + x) 等都是无穷小量. 所以，当 x → 0 时， x 与 sin x， x 与 tan x， 都是等价无穷小量， x ~ sin x， x ~ tan x， ln(1 + x) ~ x. 即 x 与 ln(1 + x ) 并且 　　定义　设 ? ( x ) 和 b (x ) 为 x → x0 (或 x → ?) 时的无穷小量， 则称当 x → x0 (或 x → ?)时，? ( x ) 是 b ( x ) 的高阶无穷小量， 例如， x2, sin x 都是 x → 0 时的无穷小量, 且 所以，当 x →0 时， x2 是 sin x 的高阶无穷小量，即 x2 = o(sin x). 或称 b ( x ) 是 ? ( x ) 的低阶无穷小量，记为 ? ( x ) = o (b ( x )) . 若它们的比的极限为零，即 　　定理 1　设? ( x ) ~ ?1( x )，b ( x ) ~ b1( x )， 且 存在(或无穷大量)， 则 也存在或(无穷大量)， 并且 证 由定理条件可知 因此有 即可仿上面的证法 . 例 1 解　因为 x →0 时， ln (1 + x) ~ x， ex - 1 ~ x， 所以 例 2 解　因为 x →0 时， tan 5x ~ 5x， 所以 例 4 解 *