高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第一节 不定积分的概念与性质.pptVIP

* 一、原函数与不定积分 第四章　不定积分 第一节　不定积分的概念与性质 二、不定积分的基本性质 三、不定积分的性质 四、不定积分的几何意义 定义 1　设函数 y = f (x) 在某区间上有定义， 如果存在函数 F (x)， 对于该区间上任一点 x， 使 F ?(x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一个原函数. 一、原函数与不定积分 ( x3 + C )? = 3x2 (C 为任意常数)， 所以 x3 + 1， x3 + C 都是 3x2 在区间 (? ?, ? ?) 内的原函数. 例如，因为在区间 (? ?, ? ?) 内有(x3)? = 3x2， 所以 x3 是 3x2 在区间 (? ?, ? ?) 内一个原函数， 又因为(x3+1)?= 3x2， 一般地， 若 F(x) 是 f (x) 在某区间上的一个原函数， 则函数族 F(x) + C (C 为任意常数)都是 f (x) 在该区间上的原函数. 移项得 ? (x) = F(x) + C . 因为 ? (x) 是 f (x) 的任一个原函数， 因为 [?(x) - F(x)]? =? ? (x) – F ? (x) = f (x) - f (x) = 0， 由微分中值定理的推论得 ? (x) -F(x) = C (C为常数)， 　　设 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个确定的原函数，? (x) 是 f (x) 在区间 I 上的任一个原函数， F ?(x) = f (x)， ? ?(x) = f (x). 所以 F (x) + C 是 f (x) 在区间 I 上的全体原函数的一般表达式. 即 其中符号 称为积分号， f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式， 　　　　　　　　　　　　　　　 x 称为积分变量， 　　定义 2　若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数， 即 则 F(x) + C (C为任意常数)称为 f (x) 在该区间上的不定积分， 记为 f(x) 称为被积函数， C 称为积分常数. 例 1　求下列不定积分 　　解　根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可. (1)被积函数 f ( x ) = 2x， 因为 ( x2 )? = 2x， 即 x2 是 2x 的一个原函数 ， 所以，不定积分 (2)被积函数 f (x) = sin x， 因为 (- cos x)? = sinx， 即 - cos x 是 sin x 的一个原函数， 所以，不定积分 所以得 所以得 当 x 0 时， 所以 当 x 0 时， 所以 合并以上两种情况，当 x ? 0 时，得 例 2　求不定积分 解 (2) 或 二、不定积分的基本性质 (1) 基本积分表 例 3　求不定积分 　　解　先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式， (1) (2) 得 例 4　求不定积分 解 　　性质 1　两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和， 三、不定积分的性质 即 性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即 性质 1 称为分项积分. 　　证　根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数. 　　性质 2　被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外， (k 为不等于零的常数) 证　类似性质 1 的证法， 有 即 例 5　求不定积分 即各积分常数可以合并. 其中 C = C1- 2C2 + 2C3， 因此，求代数和的不定积分时， 解 只需在最后写出一个积分常数 C 即可. 例 6　求 解 例 7　求 解 四、不定积分的几何意义 若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 则称 y = F (x) 的图形是 f (x) 的积分曲线. 因为不定积分 是 f (x) 的原函数的一般表达式， 所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族. 　　积分曲线族 y = F (x) + C 的特点是： 当 C