高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第五节 曲率.pptVIP

* 一、弧微分 第三章　导数的应用 *第五节　曲　率 二、曲率及其计算公式 三、曲率半径和曲率圆 　　设函数 y = f (x) 在区间(a, b)内有连续导数，即 f ? (x) 连续. 　　　　　　　我们在方程为 y = f (x) (a x b)的曲线上取定点 M0 (x0, y0) 作为计算曲线弧长的起点， 点 M(x, y) 是其上任意一点, 并规定： (1) 以 x 增大的方向作为曲线的正方向, 简称曲线 y = f (x) 为有向曲线， 即该曲线的任一弧段 M0M是有方向的， 一、弧微分 M0M 为有向弧段. (2)记有向弧段 M0M 的长度为 s， 　当 M0M 的方向与曲线的正向一致时，s 取正号； 对于任意一个 x ? (a, b)， 在曲线上相应地有一个点 M(x, y)， 那么 s 就有 一个确定的值与之对应， 因此弧长 s 为 x 的函数. s = s(x)， 且由规定(2)可知，它是一个单调递增的函数. 　　　　　　　　　　　　　　　 　 当 M0M 的方向与曲线的正向相反对，s 取负号. 当 x 增大到 x + dx 时， 而点 M 处的切线 MT 的纵坐标的增量为 dy， 函数 s = s(x) 的增量为 ?s = MM1， 可以证明 ?s 与 MT 之差是 ?x 的高阶无穷小量， 即弧微分 根据微分定义， 所以函数 s = s(x) 的微分， x y O x x +?x N T M1 M0 M ?s dy dx = ? ?(t) dt，dy = f ?(t)dt， 若曲线方程为 则 ≤ ≤ 记为 K，即 二、曲率及其计算公式 　　定义 1　弧 AB 的切线转角 ?a 与该弧长 ?s 之比的绝对值叫做该弧的平均曲率， x y A B O ? ?s ?? ? +?? 定义 2　当点 B 沿曲线 L 趋向于 A 时(上图(a))， 若弧 AB 的平均曲率的极限存在， 则称此极限为曲线 L 在点 A 处的曲率，记为 K， 即 又 ?s = R · ?a ， 设圆的半径为 R， 这时，弧 AB 上切线的转角等于半径 OA 与 OB 的夹角， B R A O ?a ?a 因此 对曲线 y = f (x) 的曲率计算问题. 由于 y? = tan ?， 由于 ? = arctan y?， 于是有 所以其曲率公式为 若曲线由参数方程 ≤ ≤ 　　例 1　计算函数 y = x3 在点(0, 0)与(-1, -1)处的曲率. 解　因为 y? = 3x2， y ? = 6x， 所以曲线在任意点处曲率为 将 x = 0 代入上式， 即得点 M(0, 0)处的曲率 K(0) = 0. 将 x = -1 代入上式， 即得点 M(-1, -1)处的曲率为 例 2　求曲线 　　　　　　　　　　　　　　　(a 0)在 t = ? 处的曲率. 解　因为 x? = a(1 - cos t)， x? = a sin t， y? = a sin t， y? = a cos t. 所以得曲率 t = ? 代入上式， 即可得所求的曲率为 　　设曲线 y = f (x) 在某点 M (x, y) 的曲率为 K 且不为 0， 称为该曲线在 M (x, y) 处的曲率半径， 记为 R， 若在曲线 y = f (x) 上的点 M 处， 沿其凹向一侧的法线上取线段 MC， 其长等于曲率半径 R， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则点 C 称为该曲线在点 M 处的曲率中心. 三、曲率半径和曲率圆 即 以 C 为中心， 以曲率半径 R 为半径的圆， 叫做该曲线在点 M 处的曲率圆(如图