高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第五节　偏导数的应用.pptVIP

* 一、偏导数的几何应用举例 二、多元函数的极值 第五节 偏导数的应用 第九章 多元函数微分学 一、偏导数的几何应用举例 1. 空间曲线的切线与法平面 定义 1 设 M0 是空间曲线 ? 上的一点， M 是 ? 上的另一点. 当点 M 沿曲线 ? 趋向于点 M0 时， 则称割线 M0M 的极限位置 M0T ( 如果存在) 为曲线 ? 在点 M0 处的切线. 过点 M0 且与切线 M0T 垂直的平面， 称为曲线 ? 在点 M0 处的法平面. 设曲线 ? 的参数方称为 当 t = t 0 时， 曲线 ? 上的对应点为 M0(x0 , y0 , z0). 假定 可导， 且 不同时为零. 给 t0 以增量 ?t ， 在曲线 ? 上就有一对应点 则割线M0M 的方程为 对上式取极限， 上式中各分母除以 得 当点 M 沿曲线 趋向于点 M0 时， 有 因为上式各分母趋向于 且不同时为零， 所以割线的极限位置存在， 这就是曲线 在点 M0 处的切线 M0T 的方程. 切线的方向向量 s 可取为 容易知道， 曲线 ? 在点 M 处的法平面方程为 且为 例 1 上对应于 的点处 的切线与法平面方程. 解 因为 求螺旋线 所以 于是， 所求点处的切线方程为 即 该点处的法平面方程为 即 例 2 求曲线 在对应于 的点处 的切线与法平面方程. 解 令 x = t ， 则曲线 ? 的参数方程为 当 时， 因为 所以所求点处的切线方程为 法平面方程为 即 2. 曲面的切平面与法线 定义 2 设 M0 为曲面 上的一点， 若过 点 M0 且在曲面 上的任何曲线在点 M0 处 的切线均在同一个平面上， 则称该平面为曲面 在点 M0 处的切平面， 过点 M0 且垂直于切平面的直线， 称为曲面 在点 M0 处的法线. 则曲面? 在点 M0( x0, y0, z0) 处的切平面方程为 设曲面 的方程为 曲面 在点 M0 处的法线方程为 , 0 ) )( , , ( )