高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第四节　曲 面 积 分.pptVIP

*第四节　曲 面 积 分 * 第十一章　曲线积分与曲面积分 二、对坐标的曲面积分 一、对面积的曲面积分 三、高斯(Gauss)公式 在每块子曲面 ?Si 上任取一点 (xi,?i, ?i )， 将 ? 任意分成 n 块子曲面， 一、对面积的曲面积分 定义 设函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上有定义， 记为 ?Si (i = 1, 2, ?, n)， ?Si 也表示第 i 块子曲面的面积， 作和式 如果当子曲面的最大直径 ? 趋于零时，和式的极限存在，则称此极限值为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积的曲面积分，也称为第一类曲面积分.记作 其中 f (x, y, z) 称为被积函数， f (x, y, z)dS 称为被积表达式， dS 称为曲面的面积元素， ? 称为积分曲面， 如果曲面是封闭的， 则曲面积分记为 设曲面 ? 的方程为 z = z(x, y)(z 为单值函数)，? 在 xy 平面上的投影区域为 Dxy， 函数 z = z(x, y) 在 Dxy 上具有连续的一阶偏导数，函数 f (x, y, z)在曲面 ? 上连续， 则 注意几点 　　(1) f (x, y, z) 定义在曲面 z = z(x, y)上，所以 z 要换成 z(x, y)； (2) 曲面的面积元素为 其中 d? 是 dS 在 xy 平面上的投影区域的面积. 例 1 计算曲面积分 其中 ? 为球面 x2 + y2 + z2 = 1. 解　球面方程为 上半球面记为 ?1， 下半球面记为 ?2，则根据对面积的曲面积分的性质，有 因为 ?1，?2 在 xy 平面上投影区域都是 D： x2 + y2 ≤1，所以 因此 有内侧与外侧之分 1. 有向曲面与曲面的侧 设曲面? 是双侧的. 例如方程 z = z(x, y) 表示的曲面， 有上侧与下侧之分； 方程 y = y(x, z)表示的曲面. 有左侧与右侧之分； 方程 x = x(y, z) 所表示的曲面， 有前侧与后侧之分； 对于封闭曲面， z x y O 上侧 下侧 ? Mo z x y O 外侧 内侧 内侧 外侧 二、对坐标的曲面积分 (a) (b) 3. 对坐标的曲面积分的定义 　　定义　设函数 R(x, y, z) 定义在曲面 ? 上，选定曲面 ? 的一侧，其法向量记为 n = cos ai + cosbj + cos ?k, 其中 a, b, ? 是 x, y, z 的函数，则积分 称为函数 R(x, y, z) 在曲面 S 选定侧 n 上的第二类曲面积分或称对坐标的曲面积分. 　　cos ? dS 是 dS 在 xy 坐标面上的投影，记作dxdy .即 cos ? dS = dxdy， 这里记号 dxdy 采取与二重积分中的面积元素相同的记号是方便的. 但要注意，这里的 dxdy 是可正可负的. 当角 ? 不超过 dxdy ≥ 0， 当角? 超过 dxdy 0 . 同样 它们也可写为 同样要注意 dydz 或 dzdx 是可正可负的， 当角 a 不超过 dydz ≥ 0， 当角 b 不超过 否则 dydz 0. 否则 dzdx 0. dzdx ≥ 0， 积分 称为组合曲面积分. 简记为 4. 对坐标的曲面积分的性质 　　对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分的类似性质. 例如 (1) 如果把 ? 分成 ?1 和 ?2 ，则 　　(2) 设 ? 是有向曲面. 若