第三章静磁场.doc

第三章 静磁场 1试用表一个沿方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同表示式，证明二者之差是无旋场。 解：令 则 令 则 而 即二者之差是无旋场。 （本题是列举的不同表示式，因此下面的两种也可以很容易的证明其满足两者旋度之差的结果为0，如显然） 2均匀无穷长直圆柱螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度为I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。 解：设螺线管截面的半径为，z轴为其中心轴，在柱坐标系中，螺线管表面电流密度为，记螺线管内部磁场为，外部磁场为，故这个问题的全部定解条件为 由于螺线管无穷长，外部磁场应为。因此由处磁场的切向边值关系，有 此解显然满足上述方程和边界条件，根据唯一性定理，它是本问题唯一正确的解。由此得 3设有无穷长的线电流I沿z轴流动。以Z0空间充满磁导率为的均匀介质，z0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布。 解：电流I的磁场使介质磁化，记Z0区磁场为，z0区磁场为。在柱坐标系中全部定解条件为 根据上述定解条件和显然与r有关。而且只有分量，为此提尝试解 因而 此解满足全部方程和边值关系，因此是唯一正确的解。 由,得介质的磁化强度 上半空间，因此介质表面即磁场电流面密度为 （Z=0） 这个电流是从处流出并沿介质表面径向流动，根据电流的连续性，可判断下半空间的介质中，即，电流线表面存在“线磁化电流”： 。 4设x0半空间充满磁导率为u的均匀介质，x0空间为真空，今有线电流I沿Z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 解：由麦克斯韦方程组 x=0处 因为只与r有关，所以有 所以 解得 = 因为 所以 5．某空间区域有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知 其中为常量，求该处。 解：因为磁场为轴对称所以有 所以 令 = 由 因为 =0 所以 可以验证，，即该处，若常量，则 6两个半径为a的同轴圆形，位于Z=L面上，每个线圈上载有同方向的电流I （1）求轴线上的磁感应强度， （2）求在中心区域产生最接近均匀的磁场时L和a的关系。 解：设两线圈中的电流I均沿方向，用毕萨定律，可分别求出两个电流圈在z轴上任一点的磁感应强度。由 得 = 因为 = 将两线圈产生的磁场叠加 在中心区域存在最接近于均匀磁场的条件为 令 =0 得 2L=a 7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。 解：设导体的磁导率为导体外的磁导率为 因为关于小x.y方向的方程和边界条件均为齐次.所以解为零. 有(1)得 (因为只与r有关.所以只取r项) (7) 由(2)得 (8) 由(4)得 由(3)得 (9) 由(6)得 (10) 由(10)得 (11) 由(9) (11) 得 只有 代入解得: 8. 假设存在磁单极子其磁荷为,它的磁场强度为，给出它的矢势的一个可能的表示式,并讨论它的奇异性。 解:以磁荷所在点为坐标原点，由 ，(真空中) 有 和由球坐标系有 今 利用球坐标系有 (4) 因为r方向对无贡献.选取. 由(3)得 所以 所以 常数 因为 有限. 所以 (5) 将(5)式代入(2)式..验证(2)式成立. 所以. . 9. 将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内。 求总磁感应强度和诱导磁矩? 解:以方向选为轴.用球坐标.选用磁标势 (8) 所以由(8)及，可得到 (9) 又由于，所以可得的通解形式 (