第三章傅里叶变换.ppt

第三章 傅里叶变换 §3.1 引言 法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分(变换)分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理. §3.2周期信号的傅里叶级数分析(频谱分析) 周期信号的傅里叶级数两种表现形式: 1: 三角函数级数 2: 指数形式 一：周期信号展开成三角函数形式的傅里叶级数. 1 周期信号: 2 傅里叶级数展开表达式: ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ (6) ① ②接入特性 ③用阶跃信号可表示其他信号 4:信号的运算(要通过系统来完成) ② ③ ④ ⑤ ⑥两信号相加相乘 同时刻(同频率)的信号相加相乘. ① ⑦ 物理意义: 计算: 性质:a:交换律 b:分配律 c:结合律 5:信号的分解 直流分量和交流分量 (2)偶分量和奇分量 (3)冲激信号的和 分析线形系统的方法:信号分解成一系列基本信号的和 4:正交函数分量 第三章 傅里叶变换 一:周期信号的傅里叶级数 1: 作业3-7,可以移动函数的坐标,使波形具有某种对称性,以 简化运算. （2）利用对称性 八:积分特性 例： 解:（1） （2） （3） §3.8卷积特性 一:时域卷积定理 说明:在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘. 二:频域卷积定理 说明:两时间函数频谱的卷积等效于两函数的乘积. 例:利用卷积定理求三角脉冲的频谱 解: (1)三角脉冲形成:两个同样宽度矩形脉冲进行卷积 例:利用卷积定理求余弦脉冲频谱 解: (3)画频谱: (2) §3.9周期信号的傅里叶变换 周期信号不满足绝对可积条件,但在允许冲激函数存在并认为 它是有意义的前提下, 周期信号的傅里叶变换是存在的. 一:几种典型周期信号的FT 1： 2:正余弦信号的FT 二:一般周期信号的FT 1:证明: 说明: 2?求Fn的方法 方法:从周期信号中截取一个周期,得到单脉冲f0(t)非周期信号 比较(1),(2)式,得: (2)利用单脉冲的傅里叶变换来求Fn ①是由一些冲激函数组成 ②离散性 ③谐波性 ④收敛性 周期信号的特点: (1) 例:求周期单位脉冲激序列的傅里叶级数Fs和FT 解: 1:求Fs 通过把周期信号进行傅立叶级数展开形式，分析它的频谱， 离散、谐波、但不收敛。 2: 求FT 例:求周期矩形脉冲信号f(t)的Fs和FT 解: 1:求Fs 2:求FT ◆单脉冲频谱F0(w)是连续谱,它的大小为有限值. ◆周期信号的频谱F(w)是离散谱,大小用冲激表示. ◆F0(w)是F(w)的包络1/w1. 说明:单脉冲和周期信号的傅里叶变换比较. 物理意义不同:Fs是单个复间谐波成份、复振幅,后者是单位带 宽内所有复间谐波成份和复振幅值. §3.10抽样信号的傅里叶变换 一:抽样目的及所遇到的问题.(p150 图3-48) 目的:把模拟信号变成比特流的数字信号. 模拟 抽样 量化 编码 数字 遇到的问题: 或者说： 二:理想抽样 抽样过程可以看成是由原信号f(t)和一个开关函数p(t)的乘积 来描述。 用时域周期延拓表示时域冲激序列。 设: 问题：时域很难确定T如何选取，也很难看出是否能够恢复原 信号→到频域观察，先从图形上分析，再用数学推导。 1: 注意: 抽样过程也是一个调制过程，理想抽样存在各次谐波分量， 所以是多频调制。 即: 结论: 三:窄脉冲抽样（自然抽样） 幅度随信号变化 上式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱Fs(w)是连续信号 的频谱F(w)以抽样频率ws为间隔周期性地重复而得到的，在 重复过程中，幅度被抽样脉冲p(t)的傅里叶系数所加权。加权 系数取决于抽样脉冲序列的形状。 结论：抽样频率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。 四:抽样定理 例:一余弦信号的周期为T0,用Ts= T0/12的间隔对它进行理想 抽样，求抽样信号的频谱。 解： 例： 解: 奈奎斯特角频率： 奈奎斯特角频率： 奈奎斯特间隔： §3.11抽样定理 1:理