《数学物理方法教学课件》legendre.pptVIP

14 勒让德多项式 连带勒让德方程 勒让德方程 球形区域中的轴对称拉普拉斯方程 拉普拉斯方程分离变量 勒让德方程作为本征值方程 勒让德方程第一解的系数 勒让德方程的第一解 勒让德方程的通解 勒让德多项式 勒让德多项式的微分表示 推导勒让德多项式的微分表示 勒让德多项式的显式 勒让德多项式的正交完备性 * 勒让德多项式 参考章节：16.1~9 基本练习：p250:4(2),5 附加练习：p251:10(1),12 考察刚刚得到的连带勒让德方程： 做变量替换： 连带勒让德方程的特殊情形是勒让德方程： 原点是方程的常点，在其邻域单位圆内，两个线性无关的幂级数解是： 考察球形区域中拉普拉斯方程的边值问题： 如果问题关于极轴对称，则有 将问题的解分离变量： 这就是球坐标系中定解问题的分离变量形式。 分离变量后，角度部分正是勒让德方程： 勒让德方程加上有界条件构成本征值问题。 要求方程的解在方程的奇点处有界，唯一的办法就是在奇点的邻域求方程的幂级数解。 其中第一解已经通过求解常微分方程得到： 勒让德方程的通解为： 第二解的发散表明它不应包含在通解中。 一般情况下，第一解在另一个奇点上也发散： 这是一个发散级数 有非零解的条件是无穷级数被截断为多项式。一般情况下这根本不可能，除非 满足这个要求的条件是 的项等于零，无穷级数被截断为多项式。 于是，作为本征值问题，勒让德方程的解是： 勒让德多项式 角度部分的问题解决后，还要求解径向部分： 这将在具体的问题中讨论。结果是 将全部特解叠加，得到问题的一般解 可以用导数的形式表示勒让德多项式： 由此得到勒让德多项式的奇偶性： 在方程的极点处，勒让德多项式是解析的： 二项式展开 用勒让德多项式的微分表示可以推出它的显式表示： 由此可以得到： *