2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1第2章空间向量与立体几何2.2第2课时空间向量的数量积解说.ppt

3．异面直线 (1)定义：__________________的两条直线叫做异面直线． (2)所成的角：把异面直线平移到一个________________，这时两条直线的________(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角． (3)特例：两条异面直线所成的角是________，则称两条异面直线互相垂直． 二、空间向量的数量积 1．定义： (1)条件：a、b是两个非零向量． (2)结论：把________________叫做a、b的数量积(内积)． 2．性质： (1)a·e＝|a|cos〈a，e〉．(e为单位向量) (2)a⊥b?a·b＝0. (3)|a|2＝a·A． (4)|a·b|≤|a||b|. 3．运算律：空间向量a、b满足 1．两向量的夹角 (1)由定义知，两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，规定0≤〈a，b〉≤π. (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并特别约定：0与任何向量a都是共线的，即0∥a；在研究垂直时，也认为0⊥A． (3)对任意两向量a、b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． 2．向量的数量积 (1)两向量的数量积，其结果为数量而不是向量，数量积的正负由两向量夹角余弦值决定． (2)两向量数量积是两向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法有区别，在书写时要把它们区别开来，内积写成a·b，而不能写成ab． (3)a·b的几何意义为： a与b的数量积等于a的模与b在a上的投影|b|cos〈a，b〉的乘积，也等于b的模与a在b上的投影|a|cos〈a，b〉的乘积． 如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB、AD的夹角都是120°. (1)求AC1的长；(2)证明AC1⊥BD；(3)求直线BD1与AC所成角的余弦值． [分析]　本题目主要考查利用数量积求长度、夹角问题，关键是如何将几何问题转化为向量的计算问题． 能否以原题中直线为基线形成向量呢？这些向量能否分解为从同一个顶点出发的三个向量的组合形式呢？从同一个顶点出发的三向量的模长及任意两向量的夹角为多少呢？向量分解和数量积运算形成本题的主线． 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值． [总结反思]　用向量夹角公式解决异面直线所成的角的问题时，应注意角的范围，向量夹角的范围是[0°，180°]，异面直线所成的角的范围是(0°，90°]．当用夹角公式求出的角为钝角时，它的补角才等于异面直线所成的角． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD． [分析]　要证线面垂直，只需证明线线垂直．从而转化为两向量互相垂直，即a⊥b?a·b＝0. 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC． 垂直问题 第二章　2.2　第2课时 　 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-1 第二章　空间向量与立体几何 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-1 成才之路 · 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 北师大版 · 选修2-1 空间向量与立体几何 第二章 2.2　空间向量的运算 第2课时　空间向量的数量积 第二章 知识要点解读 2 预习效果检测 3 课堂典例讲练 4 课 时 作 业 6 易混易错辨析 5 课前自主预习 1 课前自主预习 非零 ∠AOB 〈a，b〉 [0，π] 相同 相反 垂直 a⊥B 不在任何一个平面内 平面内 夹角 直角 a·(b＋c)＝_________ 分配律 a·b＝_________ 交换律 (λa)·b＝_________ 数乘向量与向量 数量积的结合律 λ(a·b) b·a a·b＋a·c 知识要点解读 预习效果检测 课堂典例讲练 向量数量积的求解 夹角、长度问题 * * 第二章　2.2　第2课时 　 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-1 第二章　空间向量与立体几何 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 北师大版 · 数学 · 选修2-1