12-2常数项级数的审敛法解说.ppt

第二讲 常数项级数的审敛法 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法 一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 则称 为正项级数 . 定理1 一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法 一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法 则有 (1) 若 则 收敛 , 收敛 ; (2) 若 则 发散 , 发散 . 设 是两个正项级数, 且存在 对一切 有 ( k 0 ), 比较判别法 例1 讨论 p 级数 (常数 p 0) 的敛散性. 例2 讨论 下列级数的敛散性: (1) (2) 比较判别法的极限形式 例3 讨论 下列级数的敛散性: (1) (2) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 若 l = 0 ， (3) 若 l =∞， 设两正项级数 满足 (1) 若 0 l ∞ , 则 收敛 收敛 则 发散 发散 p-判别法 例4 讨论下列级数的敛散性: (1) (2) 则 (2) 若 l = 0 (3) 若 l =∞ 设正项级数 满足 (1) 若 0 l ∞ 收敛 发散 p1 收敛 0p1 发散 p1 0p1 (3) 一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法 一、正项级数及其审敛法 （一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 时, 级数收敛 ; (2) 当 或 时, 级数发散 . 达朗贝尔(d’Alembert)判别法(比值审敛法) 若 级数可能收敛也可能发散. 注 例5 讨论下列级数的敛散性: (1) (2) (3) (4) (5) 柯西(Cauchy)判别法(根植审敛法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 时, 级数收敛 ; (2) 当 时, 级数发散 . 若 级数可能收敛也可能发散. 注 例6 讨论下列级数的敛散性: (1) (2) 柯西判别法比达朗贝尔判别法更有效. 达朗贝尔判别法比柯西判别法更实用. 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛