{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：2.1.1正弦定理（一）Word版含解析(经典).docxVIP

1．1　正弦定理(一) 明目标、知重点　1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理解决有关生活实际中的三角形问题．1．在Rt△ABC中的有关定理或结论在Rt△ABC中，若C＝90°，则有(1)A＋B＝90°，0°A90°，0°B90°；(2)a2＋b2＝c2(勾股定理)；(3)＝c，＝c，＝c.2．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.[情境导学]如图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？这就是本节我们要一起研究的问题．探究点一　正弦定理的推导问题　三角形的边与角之间有什么关系？思考1　在初中，我们已学过直角三角形，那么在直角三角形中，你能探究出角与边的等式关系吗？答　如图，在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有＝sin A，＝sin B，又sin C＝1＝，则＝＝＝c，从而在直角三角形ABC中，＝＝.思考2　对于任意的锐角三角形，以上关系式是否仍然成立？答　如图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有CD＝asin B＝bsin A，则＝，同理可得＝，从而＝＝.思考3　在钝角△ABC中，以上关系式是否仍然成立？答　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B.∴CD＝bsin A＝asin B．∴＝.同理，＝.故＝＝.思考4　是否可以用其他方法证明正弦定理？答　如图，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C′.∵向量与在y轴上的射影均为||，即||＝||cos(A－90°)＝bsin A，||＝||sin B＝asin B，∴asin B＝bsin A，即＝.同理，＝.∴＝＝.(若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论)小结　通过上述的探究可得正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.思考5　从正弦定理的表达形式上，你能说明正弦定理的基本作用吗？答　(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C；(2)＝＝等价于＝，＝，＝.从而知正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a＝；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin A＝sin B.例1　某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如下图)，其一角已破损．现测得如下数据：BC＝2.57 cm，CE＝3.57 cm，BD＝4.38 cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．解　将BD，CE分别延长相交于一点A.在△ABC中，BC＝2.57 cm，B＝45°，C＝120°，A＝180°－(B＋C)＝15°.∵＝，∴AC＝＝，利用计算器算得AC≈7.02(cm)．同理，AB≈8.60(cm)．答　原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.反思与感悟　本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，如果已知的一边所对的角没给出，可由三角形内角和定理求出，再用正弦定理．跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．解　根据三角形内角和定理，A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，b＝＝＝9.探究点二　正弦定理在实际生活中的应用例2　台风中心位于某市正东方向300 km处，正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间(结果精确到0.1 h)?思考1　你能根据题意画出示意图并写出已知条件吗？答　如下图，设该市在点A，台风中心从点B沿着BD运动，已知AB＝300 km，B＝45°.思考2　怎样判定该市会遭受台风影响？计算台风影响持续时间需要计算台风移动的哪段路程？(写出例题的解题过程)答　在台风中心移动过程中，当该中心到点A的距离不大于250 km时，该市受台风影响，即计算点A到BD的距离是否小于250 km.计算台风影响持续时间需要在BD上求影响A的始点C1和终点C2之间的长度．解　设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300 km处的点A.假设经过t h，台风中心到达点C，则在△ABC中，AB＝300 km，AC＝250 km，BC＝40t km，B＝45°，由正弦定理，得＝＝，知s