{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.4数列在日常经济生活中的应用Word版含解析(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.能够建立等差数列模型解决生活中零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题．1．单利和复利用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(简称本利和)．若按单利计算，到期的本利和S＝P(1＋nr)；若按复利计算，到期的本利和S＝P(1＋r)n.2．零存整取模型若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx元，各月利息和为x元，全部取出的本利和为nx＋x元． 3．定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n年后，储户所得本利和为P(1＋r)n.4．分期付款模型贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为.[情境导学]当前，随着住房、教育、买车等贷款业务逐渐深入家庭．人们会经常遇到一些分期付款问题．如何选择付款方式，关系到个人利益，也是一个需要运用数学知识来计算的复杂过程．做为“热点“的分期付款成为了一种趋势，在今后，更将被广大人民所接受并应用于生活中．相信你学习了本节内容对分期付款会有较深刻的认识．　探究点一　零存整取模型例1　银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取．规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．(1)若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式；(2)若每月初存入500元，月利率为0.3%，到第36个月末整取时的本利和是多少？(3)若每月初存入一定金额，月利率为0.3%，希望到第12个月末整取时取得本利和2 000元．那么每月初应存入的金额是多少？思考1　(1)中第一个月、第二个月和第n个月的利息分别是多少？答　分别是nxr，(n－1)xr，xr.思考2　求整取时的本利和实质上是求什么？(写出例题的解题过程)答　就是求全部的本金及全部的利息之和．解　根据题意，第1个月存入的x元，到期利息为x·r·n，第2个月存入的x元，到期利息为x·r·(n－1)元，…，第n个月存入的x元，到期利息为xr元．不难看出，这是一个等差数列求和的问题．各月利息之和为xr(1＋2＋…＋n)＝x(元)，而本金为nx元，这样就得到本利和公式y＝nx＋x(元)，即y＝x[n＋](元)(n∈N＋)．①(2)每月存入500元，月利率为0.3%，根据①式，本利和y＝500×(36＋×0.3%)＝18 999(元)．(3)依题意，在①式中，y＝2 000，r＝0.3%，n＝12.x＝＝≈163.48(元)．答　每月应存入163.48元．反思与感悟　当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．跟踪训练1　某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案　11a(1.15－1)解析　注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．探究点二　定期自动转存模型例2　银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔1年定期存款，1年后，如果储户不取出本利和．则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)，我们来讨论以下问题：(1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，试求出储户n年后所得本利和的公式；(2)如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为2.79%，那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)?思考1　(1)中1年后和2年后的本利和分别是多少？答　1年后的本利和为a1＝P＋P·r＝P(1＋r)，2年后的本利和为a2＝P(1＋r)＋P(1＋r)r＝P(1＋r)2.思考2　(1)中各年的本利和构成了怎样的一个数列？(写出例题的解题过程)答　构成了一个首项为a1＝P(1＋r)，公比为q＝1＋r的等比数列．解　(1)记n年后得到的本利和为an，根据题意，每年到期后的本利和构成了一个等比数列，首项为a1＝P(1＋r)，公比为q＝1＋r，故n年后到期的本利和为an＝a1qn－1＝P(1＋r)n(元)．(2)根据上式，5年后本利和为a5＝1×(1＋0.027 9)5≈1.148(万元)．答　5年后得本利和约