(精)复变函数与积分变换第一章简版z.ppt

　上　课 我们的目标 手机：移62338）. QQ：751503917 欢迎交流 复变函数与积分变换及应用背景 第一章 复数与复变函数 主 要 内 容 §1.1 复数 1.1.1 复数的概念 1.1.2 复数的四则运算 复数能否比较大小，为什么？ 思考题3：用复数的相关知识解释为什么 普通照相机照出来的照片没有 立体感，而数码相机照出来的 照片却有立体感？ 1.1.4 乘幂与方根 1.1.4 乘幂与方根 本章内容总结 是角形域, 无界的单连通域(如图). 周外部, 无界多连通区域(如图). 是以原点为中心, 半径为 的圆 表示到1, –1两点的距离之 表示该椭圆的内部, 这是有界的单连通区域(如图). 和为定值 4 的点的轨迹, 因为 所以这是椭圆曲线. 内部. 这是有界集, 但不是区域. 令 是双叶玫瑰线(也称双纽线). 表示双纽线的 例 满足下列条件的点集是否区域? 如果 是区域, 是单连通区域还是多连通区域? 这是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 它是单连通区域. 这是以为 右边界的半 平面, 不包括直线 它是多连通区域. 它不是区域. 这是以 为圆心, 以2为 半径的去心圆盘. 这是以i为端点, 斜率为1的半 射线, 不包括端点i. §1.3 复变函数 一、基本概念 二、图形表示 三、极限 四、连续 一、基本概念 在以后的讨论中，D 常常是一个平面区域，称之为定义域。 按照一定法则，有确定的复数 w 与它对应， 一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。 上定义一个复变函数，记作 定义 设 D 是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点 ， z 对每个 有唯一的 w 与它对应； 单值函数 比如 多值函数 对每个 有多个 w 与它对应； 比如 则称在 D 一、基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。 分析 则 可以写成 设 其中， 与 为实值二元函数。 分开上式的实部与虚部得到 于是，复变函数 的极限、连续、一致连续 等概念就是映射 的相应概念.有关映射的 各种性质也对复变函数成立. 重要注记：由于 ， ，故一般将 理解为以 为自变量的函数，即 。以后将看到，这样做会带来很多方便，并且具有“复风格”. 分开实部与虚部即得 代入 得 解 记 G G 二、图形表示 C 映射 复变函数 在几何上被看作是把 z 平面上的一个 平面 z 平面 w 点集 变到 w 平面上的一个点集 的映射(或者变换)。 其中，点集 称为像，点集 称为原像。 函数、映射以及变换可视为同一个概念。 (分析) (几何) (代数) D z x y w u v 对于复变函数，它反映的是两对变量u，v和x，y之间的对应关系，因而无法用一个平面或一个三维空间的图形来表示。故在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观. 思考题：为什么在复变函数中用两个平面来表示 其图形？ 二、图形表示 反函数与逆映射 双方单值与一一映射 为 w 平面上的点集 G， 设函数 的定义域为 z 平面上的点集 D，值域 的一个(或几个)点 z， 一个函数 它称为函数 的反函数，也称 为映射 的逆映射。 若映射 与它的逆映射 都是单值的， 则称映射 是双方单值的或者一一映射。 则 G 中的每个点 w 必将对应着 D 中 按照函数的定义，在 G 上就确定了 解 (1) 点 对应的像(点)为 (2) 区域 D 可改写为： 令 则 可得区域 D 的像(区域)G 满足 即 函数 对应于两