(精)复变函数与积分变换课件.pptVIP

第九章 Laplace变换 主 要 内 容 §9.5 Laplace变换的简单应用 本章内容总结 利用Laplace 变换的性质，也能反过来求一些简单函数的Laplace 逆变换。 举例： 例9 求 的Laplace逆变换. 例10 求 的Laplace逆变换. 例11 求 的Laplace逆变换. §9.3 Laplace 逆变换 一、复反演积分公式 其中 是 的增长指数. 积分路径是在右半平面 上的任意一条直线 若函数f(t)满足拉氏变换存在定理的条件，且 ? 则 由下式给出 ? 反演积分是复变函数的积分,在一定条件下, 可利用 留数来计算. 推导：根据Fourier积分公式, 在 的连续点处， 在等式两端同乘以 故当t0时, 令 则 其中 是 的增长指数. 积分路径是 在右半平面 上的任意一条直线 定理 　设 是 的所有孤立 奇点(有限个)， 它们全部位于直线 Re(s) =β( β0) 的左侧，并且当s→+∞时，F(s) →0，则有 二 利用留数求Laplace逆变换 即 R O x y CR b+iR b-iR b 奇点 证明　取 充分大, 使得 都在圆弧 和直线 所围成 的区域内. 因为 是全平面 上的解析函数，因此， 是 的 孤立奇点, 除这些奇点之外， 处处解析. 于是，根据 令 得 特别当 是有理函数，且为分母次数高于 分子次数的有理真分式，则Laplace逆变换存在， 可以证明 例 1　 求 的Laplace逆变换. 解　 是 的1级极点， 由计算 留数的法则， 例2　 求 的Laplace逆变换. 解　 和2级极点. 和 分别是 的1级 故由计算留数的法则 例3　 求 解　 和 分别是 的3级和2级极点. 故由计算留数的法则 当 是有理函数时, 可把它化为部分分式再 求逆变换. 如前面的例2： 求 的Laplace逆变换. 三 部分分时分解法求Laplace逆变换 例4　求 的Laplace 逆变换. 解法1　 和 分别是 的1级 和3级极点， 故由计算留数的法则 解法2　 可分解为形如 可以求得 因为 所以 例5 　求 小结：求Laplace逆变换的方法： 利用Laplace变换的性质 2 部分分式分解法 3 利用留数 4 利用卷积定理 §9.3 卷积与卷积定理 Laplace变换的卷积性质不仅能用来求出某些函数 的Laplace逆变换, 而且在线性系统的研究中起着重 要作用. 一 拉氏变换的卷积 若函数 满足, 时都为零, 则 称为函数 拉氏变换的卷积. 解: 例1 设函数 求卷积 例2 求 二 拉氏变换的卷积定理 ? 则 ? ? 若 ? 例3 若 求 　令 则 故根据 及 ，有 例4 　求 　因为 故由 ， 例5 设 求 　由 因此，根据 本章介绍Laplace变换的概念、性质 以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子. 1 Laplace变换的定义 2 周期函数和d 函数的Laplace变换 §9.1 Laplace变换的概念 Fourier变换的不足： 1 绝对可积的要求太高. 很多常见的初等函数 (例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数 等)都不满足这个要求. 2 很多以时间t 为自变量的函数当t0时，往 往没有定义，或者不需要知道t0的情况. 改进： f(t) f(t)u(t) f(t)u(t)e -βt t f (t) O t f (t)u(t)e-bt O 将 记为s, 可写成 它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便. Laplace变换 一、 Laplace变换的概念 ? ? 因为在Laplace变换中不必考虑 时的情况， 所以经常记作 例1 求单位阶跃函数 的Laplace变换. 根据Laplace变换的定义， 当 时， 例2 求指数函数 (其中a是复常数) 的Laplace变换. 这个积分当 时收敛，且 所以 根据Laplace变换的定义 内分段连续, 并且当 时, 的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常