(精)复变积分第五章.pptVIP

第五章 保角映射 §5.1 映射与保角映射的概念 5.1.1 映射的概念 5.1.2 两曲线的夹角 5.1.3 导数的几何意义 5.1.4 保角映射的概念 5.1.5 关于保角映射的一般理论 §5.2 分式线性映射 5.2.1 分式线性映射的概念 5.2.2 几种简单的分式线性映射 5.2.3 分式线性映射的性质 5.2.4 惟一决定分式线性映射的条件 5.2.5 分式线性映射的典型例子 §5.3 几个初等函数所构成的映射 5.3.1 幂函数构成的映射 5.3.2 指数函数与对数函数 构成的映射 §5.4 保角映射举例 本章主要内容 例5.8 求把角形区域 映射成单位 圆内部 的双方单值保角映射. 解 因此所求映射为 ) ? 例5.9 求把在单位圆 的内部, 从原点沿正 实轴的半径上有割痕的区域(即在单位圆 内去 掉 )映射成单位圆内部 的 双方单值保角映射. O (z) O (w) ? O (z) O (z1) O (z2) O (z3) O (z4) O (w) 解 指数函数 在全平面解析, 且 处 处不为零. 因此, 它是全平面上的保角映射. 设 则 O O x0 (1) O O (2) (3) 设 双方单值 O O 带形区域 角形区域 O O O O 特殊情形 双方单值 双方单值 带形区域 平面从原点沿正 实轴有割痕区域 上半平面 因此, 在 处, 分式线性映射是保角映射. 令 则 当 时, 故w 在 处是保角 映射, 即分式线性映射在z=?处是保角映射. 总之, 分式线性映射是扩充复平面间的保角映射. (3) 保圆性 保圆性是指在扩充复平面上将圆周映射为圆周 的性质. 特别地, 将直线看作半径为无穷大的圆周. 显然, 在平移、旋转、相似映射下保圆性成立. 因此, 如果能证明反演映射具有保圆性, 则分式线 性映射就具有保圆性. 在直角坐标系下, 圆和直线方程可统一表示成 其中当a=0, b与c不全为零时, 方程表示直线, 而a?0, 时,方程表示圆, 这里的a, b, c, d 都 是实常数. 设 在反演映射 下, 将其代入到圆和直线的统一方程中, 整理可得 于是 这是圆或直线在反演映射下的像的方程. 当d =0, b 与c不全为零时, 表示直线， 时, 表示圆. 所以反演映射具有保圆性, 从而分式 线性映射具有保圆性. (4) 保对称性 设C是z平面上的圆(包括直线), z1和z2是关于C 的对称点, 在分式线性映射下, w1, w2和G分别是z1, z2和 C在w平面上的像, 则w1和w2是关于G的对称点. 为分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射, 具有保 要条件是通过z1和z2的任何圆与圆C 直交. 下面说明分式线性映射的保对称性. 任取w平面上过w1和w2的圆周(包括直线) . 因 圆性, 所以 的原像 是z平面上过 z1和 z2的的圆周. 根据引理, 与C直交. 再由分式线性映射的保角性, 与C的像 与G直交. 从而根据引理, w1和w2关于 圆周G对称. 不同两点z1和z2关于圆周C对称的充分必 含有a, b, c, d 四个常数，其中有三个是独立的常数, 因此, 给定三个条件就能惟一确定分式线性映射. (1) 分式线性映射的确定 分式线性映射 设 是扩充z平面上三个互不相同的点， 是扩充w平面上三个互不相同的点, 则 存在惟一的一个分式线性映射, 将点 依次 映射成 事实上, 如果 和 都是有限 点, 设 将 依次映射成 则