19.第十九章 《随机变量及其分析》、《案例分析》.docVIP

第十九章 《随机变量及其分析》、《案例分析》 本部分为《选修2—3》的第二章《随机变量及其分析》、 第三章《案例分析》 新 课 标 部 分 一、选择题 1．【2007年山东理】 （12）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是。质点P 移动5次后位于点的概率是 （A） （B） （C） （D） 17．（本小题满分13分） 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为． （1）求的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】的所有可能取值有6，2，1，2； ， ， 故的分布列为： 6 2 1 2 0.63 0.25 0.1 0.02 （2） （3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为 依题意，，即，解得 所以三等品率最多为 【试题解析】本题考查的是随机变量的分布列及期望的实际运用。 【高考考点】古典概型、随机变量的分布列与期望。 【易错提醒】注意小心计算，避免在计算概率或者期望上发生失误。 【学科网备考提示】离散型随机变量的分布列与期望是高考中的常考内容，以基础题型为主。【2008年宁夏理】 （19）（本小题满分12分） A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1,X2的分布列分别为 X1 5％ 10％ P 0.8 0.2 X2 2％ 8％ 12％ P 0.2 0.5 0.3 （Ⅰ）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2； （Ⅱ）将万元投资A项目，100万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得到利润的方差的和。求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX ） 【试题解析】 Y1和Y2的分布列分别为 Y 1 5 10 P 0.8 0.2 Y 2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 当时，为最小值【高考考点】本小题主要考查随机变量的分布列、期望和方差，以及二次函数的最值【易错点】：对相关知识掌握不到位【学科网备考提示】：对数据的处理分析是新高考的一个新要求，此类问题今后仍然会出现，要重点掌握2008年山东理】　18．（本小题满分12分） 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人回答正确与否相互之间没有影响。用表示甲队的总得分。 （I）求随机变量的分布列和数学期望； （II）用表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 【标准答案】（Ⅰ）解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且 ，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望为． 解法二：根据题设可知，， 因此的分布列为，． 因为，所以． （Ⅱ）解法一：用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以，且互斥，又 ， ， 由互斥事件的概率公式得． 解法二：用表示“甲队得分”这一事件，用表示“乙队得分”这一事件，． 由于事件，为互斥事件，故有． 由题设可知，事件与独立，事件与独立，因此 ． 【高考考点】概率、分布列与数学期望 【易错提醒】在求时不能对目标事件分成两个互斥事件的和，容易出现交叉。 【学科网备考提示】处理复杂的概率问题的基本思想是先分清事件的构成及概率的转化，利用事件的内在联系，促成复杂事件的概率问题向简单概率问题转化，期间要涉及到分类讨论、正难则反、转化等数学思想。 4．【2007年山东理】 （18）（本小题满分12分）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数(重根按一个计)。 （I）求方程有实根的概率； （II）求的分布列和数学期望； （III） 求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程 有实根的概率。 【解】（I）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件A，“方程有且只有一个实根”为事件B，“方程有两个相异实根”为事件C，则 所以中的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个。 又因