高一数学直线方程及其应用人教实验B版知识精讲.docVIP

高一数学直线方程及其应用人教实验B版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 直线方程及其应用 二、学习目标 1、掌握直线的几种方程形式，并能运用这些方程解决相关问题。 2、了解线性规划问题的图象法，并能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 3、能够利用直线方程解决与圆锥曲线相关的问题。 三、知识要点 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容。应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是比较棘手的。 1、对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等。 2、对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称。中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。 3、线性规划是直线方程的又一应用。线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域。求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解。 【典型例题】 例1、预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解。 知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解。 错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设。 技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解。 解：设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 为 由 ∴A点的坐标为（，） 由 ∴B点的坐标为（25，） 所以满足约束条件的可行域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三角形区域（如下图）。 由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为（25，）， 但注意到x∈N*，y∈N*，故取y=37。 故有买桌子25张，椅子37张是最好选择。 例2、设点A和B为抛物线 y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程。 知识依托：直线与抛物线的位置关系。 错解分析：当设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）时，注意对“x1=x2”的讨论。 技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系。 解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y） （x≠0） 直线AB的方程为x=my+a 由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa， x1x2= 所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以 故x=my+4p，用m=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0） 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。 解法二：设OA的方程为， 代入y2=4px得 则OB的方程为，代入y2=4px得 ∴AB的方程为，过定点， 由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外） 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。 解法三：设M（x，y） （x≠0），OA的方程为， 代入y2=4px得 则OB的方程为，代入y2=4px得 由OM⊥AB，得 M既在以OA为直径的圆：……①上， 又在以OB为直径的圆：……②上（O点除外）， ①+②得 x2+y2－4px=0（x≠0） 故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。 例3、已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线。 解：建立坐标系如图所示， 设|AB|=2a，则A（－a，0），B（a，0）. 设M（x，y）是轨迹上任意一点. 则由题设，得=λ，坐标代入，得 =λ，化简得 （1