高一数学向量的加减与数乘运算北师大版知识精讲.docVIP

高一数学向量的加减与数乘运算北师大版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： ①向量的概念； ②向量的加法与减法； ③数乘向量的运算 ④平面向量基本定理 二、学习目标 1、了解向量的物理学背景，从“位移”“速度”“力”等物理概念中抽象出向量的概念； 2、从代数与几何两个方面理解向量概念；了解零向量、单位向量、相等向量、相反向量等基本概念； 3、从“位移的合成”“速度的合成”“力的合成”抽象概括出向量加法运算； 4、从“位移的分解”“速度的分解”“力的分解”抽象概括出向量减法运算； 5、从“速度”的倍数概括数乘向量运算； 6、理解两个向量共线的条件和平面向量的基本定理． 三、知识要点 1、向量的概念 (向量——在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量． (有向线段——规定了起点和终点的线段（或规定了正方向的线段）称为有向线段，如有向线段，A为起点，B为终点，正方向是从A到B。 (向量的表示 ——几何表示：用有向线段来表示，其中，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。 ——字母表示：用黑体小写字母a，b，c来表示，书写用来表示，或用表示该向量的有向线段的字母来表示，如向量。 ④向量的模——||，也称向量的大小、向量的长度。 ⑤零向量——模为零的向量；记作0或； ⑥单位向量——与向量同向，且长度为单位1的向量，叫做方向上的单位向量，记作； ⑦相等向量——长度相等且方向相同的向量称为相等向量，记作： ⑧相反向量——与长度相等、方向相反的向量叫作的相反向量，记作：－。和－互为相反向量，即－（－）=；零向量的相反向量仍是零向量。 ⑨平行向量——亦称共线向量，指表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，记作：//； 规定：零向量与任一向量平行。 2、向量的加法 (向量加法的平行四边形法则——已知向量，在平面内任取一点A，作，作BC//AD，作DC//AB，则四边形ABCD为平行四边形。连接AC，则称为向量的和，记作：（可参照物理学中位移、力或速度的合成） 说明：两个加向量平移至起点一致，和向量起点与之相同。 (向量加法的三角形法则——已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则 说明：两个加向量平移至首尾顺次连接。 (向量加法的多边形法则——仿照三角形法则，将n个向量平移到首尾顺次连接，则从第一个向量的起点到第n个向量的终点所形成的向量即为这n个向量的和向量，即： ④向量加法的运算律 ——交换律： ——结合律： 3、向量的减法 ①向量加上向量的相反向量，叫作与的差，即：；求两个向量的差的运算叫作向量的减法。 ②向量减法的平行四边形法则——已知向量，在平面内任取一点A，作，作BC//AD，作DC//AB，则四边形ABCD为平行四边形。连接BD，则称为向量的差，记作：（可参照物理学中位移、力或速度的分解）。显然， 说明：两个向量起点一致时，其差即为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。 ③向量减法的三角形法则——已知向量，在平面内任取一点A，作，连接BD，则称为向量的差，记作：（可参照物理学中位移、力或速度的分解）。显然， 4、数乘向量 (一般地，一个实数λ与向量的积是一个向量，记作；，它的长度为。它的方向：当λ0时，与同向；当λ0时，与反向；当λ=0时，的方向任意； (数乘向量的运算律 —— —— —— 5、向量共线的判定定理和性质定理 ——向量共线的判定定理：为非零向量，若存在一个常数λ，使得，则向量与非零向量共线。 ——向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个常数λ，使得。 6、平面向量的基本定理——如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量，存在一对实数，使得：。我们把不共线的向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。 四、考点解析与典型例题 考点一 向量的概念 例1、简答： （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）如何判断两个非零向量相等？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？ 解：（1）不一定；（2）不一定；（3）零向量；（4）零向量；（5）平行向量；（6）长度相等且方向相同；（7）不一定 考点二 向量的加法与减法运算 例2、如图，在空间四边形中，分别是与的中点，求证：． 证明： 考点三 数乘向量运算 例3、△ABC中，。 用.如图 解： 考点四 向量共线的充要条件 例4、在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，用向量的方法证明：DE平行且等于BC。 分析：要证