高一数学实数与向量的积人教版知识精讲.docVIP

高一数学实数与向量的积人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 实数与向量的积 二. 重点、难点： 1. 实数与向量的积的定义和运算律 2. 向量共线的充要条件 3. 平面向量的基本定理 【典型例题】 [例1] 设、是两个不共线的向量，已知：，，，若A、B、D三点共线，求实数K的值。 解： 由三点A、B、D三点共线等价于向量与共线，由向量共线的充要条件知，存在实数，使得，即 由平面向量的基本定理，则有 解得 [例2] 证明向量、、的终点A、B、C共线的充要条件是，其中实数、满足。 证明：先证必要性，如图若A、B、C三点共线，则与共线，由向量共线的充要条件知：存在实数，使得。 即 令，，则有，且 再证充分性，由，且，则 故有 注：上述结论可推广为以下一段形式，对于，向量与共线的充要条件是与共线。 事实上，若与至少有一个为时，命题显然成立，下面对与均不为时加以证明。 充分性，由，则存在唯一，使，故 若，则，故 与共线 若，则 故与共线 必要性，当时，由，则，即 当时，则存在唯一，使 由，，故，则 故 [例4] 如图，O是平行四边形ABCD中心，E、F分别在边AB、CD上，且，用向量方法证明E、O、F三点共线。 证明：设 故 即与共线 [例5] 如图，在中，，，BN与CM相交于P，设，，试用、表示。 解：由已知 由M、P、C三点共线，则存在唯一，使 则 于是 设 同理 故有 由与不共线，故 解得： 所以 [例6] 已知点P为内一点，且，设，。 （1）用、表示 （2）延长AP交BC于D，用、表示 解： （1）由已知 又由 则 即 （2）设 则 设，则 由于，又由与不共线则 即 [例7] 如图的重心为G，O为始点，设、、，试用、、表示。 解：由D为BC中点，则 又由G为重心，则，而， 即 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 如果、是平面内所有向量的一组基底，那么以下命题中正确的是（ ） A. 若实数、满足，则 B. 对平面内的任一向量，使的实数、有无数对 C. 对实数、向量不一定在平面内 D. 空间任一向量都可以表示为此处、是实数 2. 命题P：及点G满足，命题：G是的重心，则P是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知G1、G2分别是与的重心，且，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 设命题P：向量与共线，命题：有且只有一个实数使得，则是的（ ）条件 A. 充非必 B. 必非充 C. 充要 D. 非充非必 二. 填空题： 5. 若，，，则 ，当P是AB的三等分点（离A较近），则 。 6. 已知与不共线，，（），则M、N、P共线的充要条件是 。 7. 设，为两非零不共线向量，，，，若向量与共线，则K= 。 三. 解答题： 8. 在中，D是内分的AB边为的点，E是内分边AC为的点，F为线段BE与CD交点，设，，试用向量、表示。 9. 已知E是平行四边形边BC的中点，AE交BD于F，求证。 【试题答案】 一. 选择题： 1. A 2. C 3. B 4. B 二. 填空题： 5. ； 6. ，由，即解得 7. ，由，即解得 三. 解答题： 8. 解：如图 由C、F、D共线，故存在使 又由，故存在使 即 故 解得， 所以 9. 证明：由B、F、D共线，则存在，使 ，又由AE∥AF，存在 使，即有 解得，， 用心 爱心 专心