高一数学两条直线的位置关系人教实验B版 知识精讲.docVIP

高一数学两条直线的位置关系人教实验B版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 两条直线的位置关系 二、学习目标 1、掌握两条直线平行与垂直的判断条件，能根据直线的方程判断两条直线的位置关系； 2、掌握点到直线的距离公式；掌握对称和三角形的高、中线、角平分线等知识的处理方法。 3、两条直线位置关系的讨论，常常转化为对表示它们的两个二元一次方程的讨论。注意数形结合思想的应用。 三、知识要点 1、直线与直线的位置关系： 2、有斜率的两直线l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2； 有：①l1∥l2k1=k2且b1≠b2； ②l1⊥l2k1·k2=－1； ③l1与l2相交 k1≠k2 ④l1与l2重合k1=k2 且b1=b2。 3、一般式的直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0 有：①l1∥l2A1B2－A2B1=0；B1C2－B2C1≠0 ②l1⊥l2A1A2+B1B2=0 ③l1与l2相交 A1B2－A2B1≠0 ④l1与l2重合 A1B2－A2B1=0且B1C2－B2C1=0。 （1）点与直线的位置关系： 若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C=0； 若点P（x0，y0）不在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C≠0， 此时到直线的距离：。 平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的距离为 （2）过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为： A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）（除l2外）。 4、点关于点的对称 点（x，y）关于点（a，b）的对称点的坐标为（2a－x，2b－y） 事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。 5、点关于直线的对称点 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂直”和“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地： 设点（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点为（），则 6、常用的对称关系 点（a，b）关于x轴的对称点为（a，－b），关于y轴的对称点为（－a，b），关于原点的对称点为（－a，－b） 关于直线y=x的对称点为（b，a），关于直线y=－x的对称点为（－b，－a），关于直线y=x+m的对称点为（b－m，a+m），关于直线y=－x+m的对称点为（m－b，m－a）. 【典型例题】 例1、已知两条直线l1：x+m2y+6=0，l2：（m－2）x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2 （1）相交；（2）平行；（3）重合。 解：当ｍ＝0时，l1：ｘ＋6＝0，l2：ｘ＝0，∴l1∥l2， 当ｍ＝2时，l1：ｘ＋4ｙ＋6＝0，l2：3ｙ＋2＝0 ∴l1与l2相交； 当ｍ≠0且ｍ≠2时， 由得ｍ＝－1或ｍ＝3， 由得ｍ＝3 故（1）当ｍ≠－1且ｍ≠3且ｍ≠0时l1与l2相交。 （2）当ｍ＝－1或ｍ＝0时l1∥l2， （3）当ｍ＝3时l1与l2重合。 思维点拨：先讨论ｘ、ｙ系数为0的情况。 例2、点关于直线的对称点是 A、（－6，8） B、（－8，－6） C、（6，8） D、（－6，－8） 解：设点关于直线的对称点为， 由轴对称概念的中点在对称轴上， 且与对称轴垂直，则有 解得 ，故选D 注意：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题。 例3、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程。 解：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3， 此时与l1、l2的交点分别是A1（3，－4）和B1（3，－9），截得的线段AB的长|AB|=|－4+9|=5，符合题意。 若直线l的斜率存在，则设l的方程为y=k（x－3）+1， 解方程组 得A（－） 解方程组 得B（，－） 由|AB|=5得 （）2+（）2=25， 解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。 综上可知，所求l的方程为x=3或y=1。 另解：设直线l与l1、l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）， 则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。 两式相减，得（x1－x2）+（y1－y2）=5 ① 又（x1－x2）2+（y1－y2）2=25 ② 联立 ① ②，可得 由上可知，直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P（3，1）， 故所求l的方程为x=3或y=1。 思维点拨：要求直线方程可通过找点和斜