1.1.3--解三角形的进一步讨论.pptVIP

* * 解三角形的进一步讨论及应用 60° A B C b 引例:以下?ABC中∠B的结果各有几种 1. b = 20, A = 60?, a = ； 2. b = 20, A = 60?, a = ； 3. b = 20, A = 60?, a = 15 解：（1） 又b a，∴ B A，∴ B = 30°有一种结果； （2） ∴ B = 90°，有一种结果 （3） ∴ 此时无解 已知边a, b和角A,求其他边和角的各种类型的图示． 法1.A为锐角 Ａ Ｂ Ｃ a b B1 Ａ B2 Ｃ a b Ａ Ｂ Ｃ a b 一、三角形解的个数的判定 即sinB 1 a bsinA 无解 a = bsinA 即sinB = 1 一解 即 sinB 1 且B A bsinA a b 两解 a ≥ b 即 sinB 1 且B A 一解 2. A为钝角 a b 一解 a ≤ b 无解 Ａ Ｂ Ｃ b a Ａ Ｃ b a Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a b时，一解； a ≤ b时，无解. 判断三角形解的个数也可由“三角形中大边对大角”来判定 (1)A为锐角:若a≥b,则A≥B,从而B为锐角,有一解； 若ab,则AB,此时,由正弦定理得 的值. ①sinB1,无解; ②sinB=1,一解; ③sinB1,两解. (2)A为钝角或直角: ab,sinB1,有一解; a≤b,sinB1,无解. 法二: 例1.判断满足下列条件的三角形的个数: (1) b = 11, a = 20, B = 30o (2) c = 54, b = 39, C = 120o (3) b = 26, c = 15, C = 30o (4) a = 2, b = 6, A = 30o 两解 一解 两解 无解 例2.已知在△ABC中， B = 45°， 解这个三角形. 【审题指导】在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定. 解:由正弦定理及已知条件有 得 因为ab,所以AB, 又 ∴A=60°或120°, 当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°， 当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°， 综上可知：A=60°,C=75°, 或A=120°，C=15°， 例3.在△ABC中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 试判断△ABC的形状. 【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、 2RsinB、2RsinC来代替是解决本题的关键. 二、判断三角形形状 解:由正弦定理 得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC， 代入 中， 可得 所以,tanA=tanB=tanC. 又因为A、B、C是△ABC的内角， 所以A=B=C， 所以△ABC是等边三角形. 练习.在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且 试判断△ABC的形状. 【解题提示】结合正弦定理，将已知等式变形，寻找角B、C之间的关系，求出角B、C，从而判断三角形的形状. 【解析】方法一：由 得 ∴sinB = cosB，即 ∴B = 45°， 同理，C = 45°. ∴A = 180? - B - C = 90°. 所以△ABC为等腰直角三角形. 方法二：由 得 (*) 把 a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC (R为△ABC外接圆的半径)，代入(*)，得 2R=2RtanB=2RtanC，∴tanB = tanC = 1， 又0?＜B，C＜180°，∴B = C = 45°， ∴ A = 90°， 所以△ABC为等腰直角三角形. 三、正、余弦定理的综合应用 正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,要解三角形,必