高中总复习第一轮数学 (新人教A)第十四章极限（理）14.3 函数的极限.docVIP

14.3 函数的极限 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.函数极限的概念 (1)如果f(x)=a且f(x)=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x→∞时，f(x)→a. (2)一般地，当自变量x无限趋近于常数x0(但x不等于x0)时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是a,记作f(x)=a,也可记作当x→x0时，f(x)→a. (3)一般地，如果当x从点x=x0左侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作f(x)=a.如果从点x=x0右侧(即xx0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作f(x)=a. 2.极限的四则运算法则 如果f(x)=a,g(x)=b,那么 ［f(x)±g(x)］=a±b；［f(x)·g(x)］=a·b；=(b≠0). 链接·提示 (1)上述法则对x→∞的情况仍成立； (2)［Cf(x)］=Cf(x)(C为常数)； (3)［f(x)］n=［f(x)］n(n∈N*). 二、点击双基 1.f(x)=f(x)=a是f(x)在x0处存在极限的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f(x)=下列结论正确的是( ) A.f(x)=f(x) B.f(x)=2,f(x)不存在 C.f(x)=0,f(x)不存在 D.f(x)≠f(x) 答案:D 3.函数f(x)在x0处连续是f(x)在点x0处有极限的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 4.极限(-x)的值是( ) A. B.0 C.1 D.不存在 解析:(-x)===,(-x)不存在. 答案:D 5=____________________. 解析:===3. 答案:3 诱思·实例点拨 【例1】 求下列各极限: (1)(-)； (2)［-x］； (3)； (4). 剖析:若f(x)在x0处连续，则应有f(x)=f(x0),故求f(x)在连续点x0处的极限时，只需求f(x0)即可；若f(x)在x0处不连续，可通过变形，消去x-x0因式，转化成可直接求f(x0)的式子. 解:(1)原式===-. (2)原式===a+b, ==a+b. ∴原式=a+b. (3)因为=1,而=-1， ≠, 所以不存在． (4)原式= =(cos+sin)=. 讲评:(2)中分子、分母应同除以,所以当x0时,应同除以-x. 链接·聚焦 当a0时,求的值. 解:当a1时,==1,=0. ∴a1时,不存在. 当0a1时,同上可求不存在. 当a=1时,=. 【例2】=1,求a、b的值. 剖析:先将已知式子进行分子有理化,让分子中出现x-1这个因式,进而求解. 解:由=1得 =1. ∴解得a=-,b=-. 讲评:此题易产生的错误是:由存在时,分子、分母一定有公因式-1,所以此时可得a=0,b=-1.此时不可能等于1. 【例3】 (1)设试确定b的值,使f(x)存在； (2)f(x)为多项式,且=1,=5,求f(x)的表达式. 解:(1)f(x)=(2x+b)=b,f(x)=(1+2x)=2, 当且仅当b=2时,有f(x)=f(x), 故b=2时,原极限存在. (2)由于f(x)是多项式,且=1, ∴可设f(x)=4x3+x2+ax+b(a、b为待定系数). 又∵=5, 即(4x2+x+a+)=5, ∴a=5,b=0,即f(x)=4x3+x2+5x. 讲评:(1)函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. (2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.