高中数学总复习第二轮专题九导 数（文）9.1 导 数.docVIP

专题九 导 数（文） 考情动态分析 本专题的考查主要分三个层次:第一层次考查导数的概念、求导的公式和求导的法则;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值、求函数的单调区间、证明函数的增减性、求曲线的切线等;第三层次综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起,设计综合试题.导数是分析和解决问题时有效的工具. 研究2009年全国及16省市的高考试题,可以看到: 1.本专题的内容考查分值一般在20分左右. 2.试题分数比重在逐年增加,选择题、填空题、解答题都有可能出现. 3.选择题、填空题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用. 4.解答题一般为导数的应用.考查利用导数工具解决与函数、不等式及解析几何有关的综合问题. 展望2010年高考,会在求函数的导数,用导数判断或论证函数的单调性、函数的极值和最值,利用导数解决实际问题等方面拟题,会出一小一大或二小一大的试题. 在复习过程中应认识到:深入理解和正确运用导数的概念、法则是本部分内容学习的基础；能对简单的初等函数进行求导是本部分学习的重点；能把实际问题转化成求解最大(小)值的数学模型；应用导数知识去解决是提高分析问题、解决问题能力的关键. §9.1 导 数 考点核心整合 1.确定函数y=f(x)在点x0处导数的基本方法: (1)导数定义法:利用导数概念求函数y=f(x)在点x0处的导数分三步进行:求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);求平均变化率(即增量比)=;取极限确定导数f′(x0)==. (2)导函数的函数法:利用导函数的函数值法求函数y=f(x)在点x0处的导数分两步进行:求函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f′(x);将x0∈(a,b)代入导函数f′(x)得到函数值f′(x0),即为函数y=f(x)在点x0处的导数. 2.导数的意义: (1)几何意义:f′(x0)是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. (2)物理意义:s′(t0)是当物体的运动过程为s=s(t)时,物体运动在时刻t0时的瞬时速度. 3.导数的运算法则 c′=0(c为常数). (xm)′=mxm-1,m∈Q. 若函数f(x)、g(x)可导,那么函数f(x)±g(x)也可导,并且［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x). 4.求曲线的切线方程: 第一,求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率. 第二,在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y=y0+f′(x0)(x-x0). 第三,如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为x=x0. 考题名师诠释 【例1】过点（-1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ） A.2x+y+2=0 B.3x-y+3=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 解析：法一：设切线为y=k(x+1),联立y=x2+x+1利用Δ=0求出k. 法二：设切点为(x0,y0),则y0=+x0+1. 又∵y′=2x+1, ∴切线的斜率为2x0+1. 故切线为y-y0=(2x0+1)(x-x0), 即y-(+x0+1)=(2x0+1)(x-x0).又∵过点(-1,0), 将（-1,0）代入上式得：x0=0或x0=-2, 将x0=0代入y-(+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)得， 切线为：x-y+1=0. 答案：D 评述：过一点求曲线的切线要注意该点是否在曲线上. 【例2】已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的曲线E，若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a、b满足的条件. 解析：令f′(x)=3x2-2ax+b=0,依题意知 Δ=4a2-12b≥0，即a2-3b≥0. 故a、b满足的条件为a2≥3b. 评述：审题是关键，借用导函数的性质来研究原函数的问题是高考命题的一个热点. 链接·提示 有限个函数的代数和的导数等于每个函数的导数的代数和. 【例3】若直线y=3x+1是曲线y=x3-a的一条切线,求实数a的值. 分析：由题知切线的斜率是3,设切点,用导数表达出切线的斜率,建立方程可求出切点坐标. 解：设切点为P(x0,y0),关于y=x3-a求导数是y′=3x2, ∴3=3,∴x0=±1. (1)当x=1时,∵P(x0,y0)在y=3x+1上,y=3×1+1=4,