第二章推理与证明2.2.1直接证明学习目标1、结合已经学过的数学.docVIP

　第二章　推理与证明　2.2.1　直接证明 学习目标 1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点。2、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。学习过程： 一、预习： 1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形 求证：AB=CD，BC=DA 　 思考：以上证明方法有什么特点？ 观察下面问题的证法： 设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证 a3+b3＞a2b+ab2成立， ??? 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， ??? 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) ??? 只需证a2-2ab+b2＞0成立， ??? 即需证(a-b)2＞0成立。 ??? 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。(逆推证法) 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。例1．x 0，y 0，证明不等式： 例2、求证： 例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0 三、巩固练习： 1、已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 2、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．在是增函数。 4、a , b, c(R, 求证：1( 2.2.2　间接证明 学习目标 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DA 　 　 　 2、定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。即：欲证p则q，证：p且非q（反证法） 反证法的步骤：1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； 2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　 3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　 反证法：1）反设（即假设） p则q（原命题） 反设p且非q。 2）可能出现三种情况： ①导出非p为真——与题设矛盾。 ②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。 ③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。　　归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 二、课堂训练： 例、已知： 　求证：（1） （2）　　　　　　　　　　中至少有一个不小于 　　　 　练习： 　1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数. 3、用反证法证明：如果ab0，那么 三、巩固练习： 1、用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是 ． 2、用反证法证明：“ ab”. 应假设（ ） A．ab 　　B．ab 　　C．a=b　　 D．a≤ b 3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A．假设至少有一个钝角　　　　　B．假设至少有两个钝角 C．假设没有一个钝角　　　　　　D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 4、有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（ ）. A．由已知出发推出与假设矛盾　　　 B．由假设出发推出与已知矛盾 C．由已知和假设出发推出矛盾 　　　D．以上说法都不对 5、已知，求证：，，不能同时大于． 1