谈不等式证明方法的选择.doc.docVIP

例谈不等式证明的策略 江苏省六合高级中学 刘 明（211500） 我们知道，证明不等式的主要方法有比较法、综合法、分析法，它们又分别有下列特点： 比较法：比较法是证明不等式最基本、最重要的方法．一般地，对于整式、分式等类型的不等式问题，可以采用这一方法． 综合法 综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法，其简捷之处就再于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题．当然，要想运用定理、不等式，必须具备相应的条件，另外，在证题过程中，要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析，制定出合理的解题策略，并加以实施． 分析法 分析法是证明不等式的一种常用的方法，通常情况下，当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时，可以采用这一方法．这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效． 需要说明的是：综合法是“由因导果”，分析法则是“执果索因”，以要证“”为例，综合法、分析法证明不等式的逻辑关系如图1所示： 可见，这两种方法是对应统一的．在证明不等式时，对于复杂的不等式，直接运用综合法证明往往难以确定解决问题的策略，通常要分析、探索证题途径，然后再运用综合法加以证明． 已知，求证：. 分析一：本题已知了，而要证明，于是，我们容易想 到用“作差法”来证明，在证明时，需要利用已知条件将不等式右端的“1”进行替换，在替换时，要注意到不等式的条件与结论以及不等式两端的差异——一个是“一次”、另一个为“二次”，为了缩小条件与结论之间的“差距”，这里，需要将“1”替换成“”，而不能将“1”替换成“”（你不妨去试一试）． 证法一(比较法) 分析二：上面我们用比较法证明了这一个例子，除了这一方法外，我们也可以由条件，联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式，再利用条件，得到结果． 证法二(综合法) . 分析三：如果我们不能够发现本题的特点，不会利用上述两种方法来证明这一不等式时，我们可以利用分析法来加以证明． 证法三(分析法) ,为了证明， 只需证明 , 即 ， 即 , 即 ， 即 ． 成立， 成立． 可见，例1可以分别利用上述三种方法来加以证明． 已知，求证：. 分析一：对于例2，我们很难通过对所给条件与所求结论的分析去直接证明，于 是可以利用分析法来证明． 证明 因为，所以为了证明， 只需证明 ， 由于对数的底数为21，所以，为了证明上式成立,只需证明 , 由于 于是为了证明上式成立,只需证明 ， 即 ， 即 ， 只需证 ． ① ∴①式成立，这就证明了成立. 说明 在上面的证明中，由于要找不等式成立充分条件，于是，要想证明原不等式成立，只要保证①式中有一个成立即可，并不需要两者都成立．另外，本例也可以通过综合法证明，由于所要证的不等式较为复杂，所以，先由分析法探索证明途径，然后再用综合法写出证明过程． 分析二： 如果你能够发现所要证明的不等式两端存在着这样的差距——一端是含有变量的形式、另一端是常数，只需确定了不等式左端的范围，也就证明了这一不等式，于是本例又可以利用综合法来证明． 证明 ， 内是减函数（证明过程略，你不妨去证一证！）， 值得一提的是，在证明不等式时，除了前面介绍的三种常规的证明方法外，放缩法也是一种较为简捷的、重要的方法．放缩法证明不等式时，欲证成立，就要把放大成，即，然后证明，由不等式的传递性就可以得到；同样地，也可以将缩小成，即，在证，从而得到，即．在用放缩法证明不等式时，放缩必须得当，不能放得过大（或缩得过小）．再看下面的例子： 例3 设 都为正数，求证：. 分析：本例可以运用比较法、分析法来加以证明，但是，这两种方法较为复杂，计算也较为困难（你不妨自己利用比较法或分析法去证明一下本例）．如果利用放缩法来证明，就非常简洁． 证明 由于 . . 即. 再看下面的一个例子： 例4 已知N+，求证：. 分析：本例我们很难利用比较法、综合法和分析法来证明，但是如果利用放缩法来证明就较为容易． 证明 当 N+且时， . . 上面介绍了证明不等式的一些常用的方法，在证明不等式时，根据所给的条件确定恰当的证明方法去证明不等式．需要注意的是，有不少不等式可以用多种证明方法来证明，在平时证明不等式的过程中，要多角度、多方位地加以思考，寻找最简捷的证明方法，以增强自己解决问题的能力． （本文发表于《高中数理化学习》） 4 图1 … 分析法 综合法