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例谈向量法解立体几何教学的“误区” 浙江省象山县第二中学 吕增锋 315731 向量法最大优势就是让学生摆脱空间中令人眼花缭乱的点、线、面位置关系的干扰，不添加任何辅助线，直接通过向量运算“轻松”解决立体几何问题。正是基于这样的天然优势，向量法越来越受到师生的青睐，并且也逐步成为当前高考应试的“主流”方法。或许正是受向量的强大功能的诱惑，许多教师在立体几何教学中没能“Hold”住，从而使得向量法解立体几何教学走向歧途。 1过早介入向量法，导致学生思维懈怠 许多教师认为传统立体几何教学不仅费时费力，而且教学成效无法得到迅速体现，因此在教学中有意识地简化传统立体几何的教学过程，压缩立体几何传统方法——综合法的教学时间，迫不及待的向学生抛出“神通广大”的“向量法”。如此急功近利的做法，在应付考试上确实能起到立竿见影的效果，但随之产生的副作用却不容小觑。 案例1：如图在的正方体中，是中点。 (Ⅰ) 求证:平面平面； (Ⅱ) 求二面角的正切值在利用向量法解立体几何中，坐标法因思路简单、操作容易成为了师生的“宠儿”，“建系——求坐标——运算法”似乎成了当前高考立体几何的标准解答流程。因此，不少教师无视其它方法存在，却只把坐标法当成了“万能钥匙”，让学生埋头“苦练”。这样做的直接后果就是导致学生解题思维的僵化，立体几何学习陷入死胡同。 案例2：（2013湖南理）如图,在直棱柱,， ,。 (I)证明: (II)求直线所成角的正弦值平面ACD1，因此就是平面ACD1的一个法向量，只需求出向量和夹角就行了。但很遗憾，没有一个学生注意到这点吗，教师最后也没做任何补充。由此可见，学生根本没有根据具体的题目选择恰当的方法，而是毫不犹豫的套用坐标法，一味的希望通过“建系——埋头运算”的固定程式解决灵活多变的立体几何问题。学生之所以出现上述情况，这恐怕和教师平时过分强调坐标法密切相关。实际上坐标法并不是万能的，若遇到难以建系的几何体，坐标法恐怕就要“失灵”；还有坐标运算相对繁琐，一步算错，全盘输。试想：一个只会用建立坐标系来解决立体几何题的学生，他对于知识的理解是不是单一了一点？学生的解题思维是否太过于向僵化了？ 3 忽视方法的选择，导致学生思维混乱 综合法重在空间想象、思辨论证，而向量法则重在程序建构、代数运算，它们不仅在分析问题的视角上不同，而且适用的问题也不同。传统的综合法一般适用于平行、垂直等空间关系的证明，它的优点是推理严谨、简洁明了；而向量法往往适用于空间角度、距离的求解，它的优点是化繁为简、操作容易。不仅如此，向量法还可以细分为建系（坐标法）非建系两种方法，坐标法操作程序固定，但运算繁琐；非建系向量法的思维层次高于坐标法，若使用得当往往能起到“化腐朽为神奇”的效果。既然方法这么多，那么教会学生选择合适的方法才是学好立体几何的关键。但很多教师迫于课时和应试的压力，忽视了这个环节的教学，而是把立体几何的解决方法固定在某个方法或者某个操作流程上，让学生生搬硬套，从而导致学生思维混乱。 案例3：（2013重庆理）如图四棱锥中底面ABCD，,为的中点,(I)求的长 (II)求二面角的正弦值”，既然跟垂直相关，一般非传统的综合法莫属。但若走综合法这条路，最后是很难求出的长长，则 ，解得。 本题第2问求二面角的大小，一般是采用向量法。通过建立空间直角坐标系，利用坐标法的确能求出正确的答案。但涉及到求空间点的坐标和两个平面的法向量，运算量显然比较大，学生容易算错。若注意到本题图形的特殊性，采用传统的综合法就快捷多了。 由于和全等，过点B作AF的垂线，垂足为G，然后连结DG，如图4所示，显然，则就是所求二面角的平面角，而在中利用余弦定理就很容易求出它的大小。 本题的解法其实是对立体几何解法一般认识的颠覆，综合法看似对路却不能用，向量法看似方便却不如几何法。由此可见，学生若没有选择解题方法的能力，遇见类似的“有违常理”的题目很可能会不知所措，会不可避免的出现思维混乱。因此不管是综合法，还是向量法，学会选择才能更好应用。 向量法虽强，但它并不是万能的，我们在教学中应该遵循教学规律和学生的认知规律，循序渐进，步步为营，最后实现融会贯通，灵活运用。 作者信息 姓名：吕增锋 单位：浙江省象山县第二中学 邮编：315731 E-MAIL：1403275302@ 联系电话图4 图3 图2 图1