2002年（首届）上海市ti杯数学竞赛有感.docVIP

2002年（首届）上海市TI杯数学竞赛有感 华东师范大学数学系 忻重义 摘要：2002年5月19日，TI杯高二年级数学竞赛在上海举行。自2000年秋季计算器进入上海市高考考场以来，第一次允许各种型号的计算器进入数学竞赛考场。 本文以具体的例子说明由于计算器的使用，能极大地开拓学生学数学、用数学的天地，增加学生探索研究数学问题的空间。充分说明计算器在解决生活实际问题，拓宽数学与周围世界的联系中；在拓展学生的解题思路，培养创新数学能力中；在提倡探索猜想，开展研究性学习过程中都能起积极的作用，具有进一步开发利用的价值和空间。 计算器进入课堂、考场、竞赛领域的实践充分说明：在教学中应充分地重视现代技术的使用，充分发挥计算器在计算、探索尝试上的优势；技术必须与课程教材进行整合，只有这样才能更好地开发学生的创新思维，极大地促进研究性学习。 关键词：费尔马点、迭代、方程求解器、计算器程序、数组与数表、自主探索、技术整合 由上海市教委教研室主办，TI杯高二年级数学竞赛于2002年5月19日在上海举行。这次赛事是在上海市高中理科教学普遍使用计算器和大力推广TI技术的基础上进行的。竞赛中提倡使用计算器，且不限制参赛者使用的计算器的型号。自2000年秋季函数型计算器第一次进入上海市高考考场以来第一次允许各种型号的计算器进入数学竞赛考场。本次竞赛的所有试题几乎都要应用计算器进行解答。由于计算器的使用，极大地开拓了学生学数学、用数学的天地，增加了学生探索研究数学问题的空间，同时对学生掌握各类计算器的操作提出了进一步的要求。 自1997年计算器进入课堂以后的将近6年的实践中，充分说明了计算器在解决生活实际问题，拓宽数学与周围世界的联系中；在拓展学生的解题思路，培养创新数学能力中；在提倡探索猜想，开展研究性学习过程中都能起积极的作用，具有进一步开发利用的价值和空间。本次数学竞赛也充分体现了计算器的这些作用。 一、联系生活实际 学数学就是为了用数学，需要用数学知识去解决实际问题。而来自生活实际问题中的数据往往是杂乱的，处理这些数据往往需要功能强大的运算工具。有了计算器，便可以使学生去解决一些来自生活实际的真实问题，从而体会到数学有用，到处都能用数学。 例1：（个人赛第一（6）题）海拔高度都是100米的三个雷达站A、B、C正好位于边长为1000米的正三角形的三个顶点上，在某一时刻发现一个目标M，三个雷达站同时测得三个距离MA=2000米，MB=2000米，MC=1500米，此时这个目标位于海拔高度 米的上空（精确到1米）。 解法一：根据题意，作ME⊥平面ABC，由于AM=BM，故垂足E在AB的垂直平分线上。点E在线段DC上呢，还是在DC的延长线上呢？ 设ME = x，由已知条件不难得到。 由图1（1）得 ①， 由图1（2）得 ②， 由方程①化简得，，无实数解，这就说明点E不在线段DC上。 由②得，，故 187500，可得，故这个目标位于海拔高度米的上空。 解法二：利用TI-83 Plus型计算器可以直接解出这个方程，得到，如图2。 例2：（团体赛第三题）如图3，三个城镇A、B、C位于一个三角形的三个顶点上，其中∠C=90°，CA=3千米，CB=4千米。要选一点P，修建三段公路PA、PB、PC，使它们的长度和最短。为此，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系（单位：千米），求点P的坐标及这个最短的长度和PA+PB+PC（精确到0.001千米）。 解法一：根据题意，可知点P即△ABC的费尔马点，∠CPA=∠BPC=∠APB=120°。以CA为边，向形外作正三角形ACD，则，P在BD上，此时 ， 由计算器可算得约为6.766千米。 设∠DBC=，则12.807876266°。， 所以PC =1.0239。 P点的横坐标 = PC 0.7512，P点的纵坐标 = PC 0.6958， 因此P点的坐标为（0.7512，0.6958）。 解法二：本题也可求出BD的方程：，再以CB为边，向形外作正三角形BCE，得出AE的方程：，然后利用TI-92 Plus型计算器解方程组得出点P的坐标（如图4）。 二、拓展学生思路 这次数学竞赛中，在使用计算器解题时，许多试题都可有不同的解题思路，从而产生不同的解法，极大地拓展了学生的思路，培养了学生创新的数学思维能力。不同解题思路的选择也反映了学生不同的数学能力。 例3：（个人赛第一（8）题）通过函数和的图像交点可知方程在内有一个解。为了求出方程精确到的近似解，可以采用下述的“迭代”方法进行：设，取初始值，得，，… ，直到时，我们就把作为方程的近似解，则上述方程精确到的近似解是 。 解法一：本题意图是希望学生理解“迭代”方法，然后再用计算器迭代功能求解。如果使用学生所拥有的