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求一元二次方程的整数根 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的实数根问题，可以用根的判别式Δ=b2-4ac来判别，但对于它的有理根,整数根情况就没有统一的方法来判别，只能具体情况具体分析。本文对这一问题作一探讨。 1 直接求解 例1．m是什么整数时方程（m2-1）x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根？（1993年天津市初二数学竞赛决赛） 解：显然m≠±1,原方程可分解为 [（m-1）x-6][(m+1)x-12]=0 x1= x2= ∵x1 , x2是正整数 ∴m-1=1或2或3或6 m+1=1或2或3或4或6或12 解得m=2或3.但m=3时x1=x2不合题意，舍去。 当m=2时x1=6 ,x2=4符合题意。 故m=2。 2.利用判别式Δ≥0 例2 已知方程ax2-(a-3)x+a-2=0至少有一个整数根，求整数a的值 解：如果a=0原方程化为3x-2=0无整数根，故a≠0 ∵Δ=(a-3)2-4a(a-2)≥0 ∴3a2-2a-9≤0 满足上式的整数a的值有-1，1，2， 检验：当a= -1时x=1或3(两个整数解) ； 当a=2时x=0或0.5(一个整数解) ； 当a=1时x2+2x-1=0无整数解。 故a= -1或2 例3 求满足方程y4+2x4+1=4x2y的所有整数对（x,y）(1995江苏省初中数学竞赛) 解：将原方程变形为2x4-4yx2+(y4+1)=0有△≥0即（-4y）2-8(y4+1)≥0即 -8(y2-1)2≥0 即（y2-1）2≤0 故y=1或-1 当y= -1时原方程无解； 当y=1时（x2-1）2=0,x=1或-1 ∴满足原方程的所有整数对是（1，1） （-1，1）。 3．利用判别式Δ是完全平方式 例4 设m为整数且4m40,方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值和方程的根（1993天津市初二数学竞赛决赛） 解：易得△=4（2m+1）由△=4（2m+1）是完全平方数和4m40可得m=12或24并求得相应的根为26，16和52，38 例5． x为何有理数时代数式9x2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998山东省初中数学竞赛） 解：设两个连续正偶数为k,k+2则9x2+23x-2=k(k+2) 即9x2+23x-(k2+2k+2)=0 ∵x是有理数∴判别式Δ是完全平方数 即设 232+4·9（k2+2k+2）=565+[6(k+1)]2=p2 (p≥0) p2-[6(k+1)]2=565=113?5=565?1即[p+6(k+1)][p-6(k+1)]=113?5=565?1 ∴ p+6(k+1)=113 p-6(k+1)=5或 p+6(k+1)=565 p-6(k+1)=1 分别解得k=8或k=46。当k=8时x=2或-；当k=46时x= -17或 总之当x=2或 -41/9时9x2+23x-2为两正偶数8，10的积；x= -17或130/9时9x2+23x-2为两正偶数46，48的积。 4.利用韦达定理 例6 方程x2+px+q=0的两个根都是正整数并且p+q=1992，求方程较大根与较小根之比。（1992北京市初中数学竞赛初二复赛） 解：设原方程的两个正整数根为x1,x2 ∵x1+x2= -p x1x2=q ∴x1x2-x1-x2=p+q=1992 ∴(x1-1)(x2-1)=1993 ∴x1-1=1 ， x2-1=1993 ∴x1=2 x2=1994 ∴x2/x1=997 例7求所有实数k使方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数（1993第五届祖冲之杯初中数学竞赛） 解：设方程的两根为x1 ，x2由韦达定理x1+x2= -=-1- x1x2==1-(∵k为实数，此时不能推出k=1,-1) x1x2-x1-x2=2 ∴(x1-1)(x2-1)=3 ∴x1-1=1 ,x2-1=3或x1-1= -3,x2-1= -1∴x1=2,x2=4或x1= -2,x2=0 故k1= -1/7或k2=1 5.常元互换 例8求出所有这样的正整数a使得二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根（第三届祖冲之杯初中数学竞赛） 解：将原方程变形为关于a的一次方程(x+2)2a=2(x+6)显然 x+2≠0 ∴a=2(x+6)÷(x+2)2∵a为正整数 ∴2（x+6）÷(x+2)2≥1解得-4≤x≤2 取x的整数值x= -4,-3,-1,0,1,2分别代入得a=1,3,6,10 例9． 使方程a2x2+ax+1-7a2=0两 根都是整数根的所有正数a的和是多少？（1992上海市初中数学竞赛） 解：将原方程变形为