实验教案十一.docVIP

实验十一 不定方程 [实验目的] 掌握求解不定方程的基本方法； 研究一次不定方程与二次不定方程。 §1基本理论 我们知道，含有未知数的等式（组）称为方程（组）。如果方程的个数小于未知数的个数，则这种方程（组）称为不定方程（组），不定方程（组）的解可能有无穷多个。比如2x+3y=1的解集在坐标平面内是一条直线 上的所有点。这里有一个隐含的假设，即未知数的取值范围是实数或复数。研究不定方程时通常将取值范围缩小到有理数、整数或正整数。 由于未知数的取值范围缩小，不定方程（组）的解的情况比较复杂。 2x+3y=1. 此方程的整数解有无穷多个（x=3t-1,y=-2t+1,t为整数）。6y2=(x+1)(x2-x+6).此方程的整数解为有限个（x=-1,0,2,7,15,74,767）.2x+4y=1.此方程显然无整数解。Xn+yn=zn(n=3)此方程即为著名的猜想Fermat大定理，现已被证明无正整数解。在本实验中我们来研究几个简单的不定方程： 一次不定方程； a2+b2=c2 Pell方程x2-Dy2=±1. 首先介绍一个预备定理。 定理11.1（整数分解唯一性定理）任一大于1的整数能表成素数的乘积，即对任一整数a1，有a=p1p2…pn,p1=p2=…=pn,其中p1,p2…,pn为素数。并且若a=q1q2…qm,q1=q2=…qm,其中q1,q2,…qm为素数，则 m=n,qi=pi(I=1,2,…,n). §2 实验内容与练习 2.1 一次不定方程 型如a1x1+a2x2+…anxn=d的不定方程称为一次不定方程，其中a1,a2,…an,d是已知的整数，x1,x2…,xn是未知数。我们首先来研究较为简单的二元依次不定方程。 1．二元一次不定方程 ax+by=d （11.1）其中a,b,d都是已知的整数。 显然，若方程（11.1）有解，则有（a,b）∣d，其逆题是否成立呢？ 练习1实验十中，已经证明了方程ax+by=(a,b)有解，利用此结论，证明方程（11.1）有解的充要条件是（a,b）∣d.在（11.1）有解时，它有多少解呢？解 的一般形式又是什么呢？由练习1的结论，我们只需研究方程ax+by=d (11.2) 其中(a,b)=1。若（x1,y1）与（x2,y2）都是方程（11.2）的解，则有 a(x1-x2)=b(y2-y1).由于（a,b）=1,根据定理10.4， a∣(y2-y1),b∣(x1-x2). 设y2-y1=ma(m为整数)，则有 x1-x2=mb.于是 x2=x1-mb, y2=y1-ma.反之，对于（11.2）的任意一个特解（x1,y1）及任意整数m,有a(x1-mb)+b(y1+ma)=ax1+by1=d. 我们由（11.2）的一个特解得出了它的通解。综合前面所得到的结论，我们可以在（a,b）∣d的条件下，由方程（11.1）的一个特解写出其解的一般形式。 练习2 设（a,b）∣d,(x1,y1)是方程（11.1）的一个特解，写出其通解的表达式。并给出方程54x-24y=36的通解。 多元一次不定方程 下面我们将方程（11.1）增加一个变量，即求解下面方程的整数解： ax+by+cz=d,(a,b,c)=1 (11.4)我们先来研究一个具体的方程 6x-10y=15z=1 (11.5)由于（6，－10）=-14，我们知道，对于任意整数w，关于x,y的方程ax+by=rw有解。我们可以先求出方程rw+cz=d的一个w=w0,z=z0,再求解方程ax+by=rw0，得x=x0,,y=y0,从而可得出原方程的一个解x=x0y=y0,z=z0. 练习3 编程求方程（11.3）的一个特解，并分别用如下方程验证你的程序： 3x_+9y-18z=2,3x+9y-18z=3. 那么，若方程(11.3) 有解，其通解又是什么呢？我们只是研究方程(11.4) 先考虑方程 (11.5) ，方程2w+15z=1 的通解为 w=-7+15m,z=1-2m.. 方程6x-10y=2w 成为方程 6x-10y=2(-7+15m). 由方程6x-10y=2 的一个特解x=2,y=1 可得方程(11.6) 的一个特解 从而方程(11.6) 的通解为x=2(-7+15m)x y=-7+15m 因此，我们得到方程(11.4) 的通解为 x=2(-7+15m) y=-7+15m 练习4 给出方程3x+9y-18z=3 的通解。 练习5 研究一般的n 元线形不定方程 a1x1+a2x2+…anxn=d ，其中a1,a2