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連乘積不能成方的探究 沙田培英中學 負責老師： 賴智強老師 隊 員： 馬  林浩文 郭永禧 尹啟聰 葉 遜 恒隆數學獎2004-----數學研究報告 29-09-2004 簡介 我們是次研究題目為「連乘積不能成方的探究」， 即任何 n個連續正整數的乘積都不是一個平方數。我們將嘗試從三個方向，利用歸繆法去探討連乘積能否成方。 第一個方向 : 我們嘗試多個連續正整數相乘，考慮其性質，希望能從中抽取箇中精要，來証明當 時，連乘積不能成方。不過， 至今我們只可證明到12個連續正整數的積都不是平方數。 第二個方向 : 我們已証明當 ｎ個連續正整數含有質數時，它們的積都不是平方數。之後，我們將會研究不包含質數的連續正整數的積，看看可否成方。 第三個方向 : 參考過 P. Erdos和J.L. Selfridge的學術期刊[1]後， 我們試圖找一個另類的方法去證明7個或以上連續正整數的乘積均不是平方數。 研究背景 我校同學幾年前已發現2 個、3 個以至4個連續正整數的乘積均不是平方數，其後我們都證明5個及6個連乘積都不能成方， 所以我們相信對於更多連續正整數的乘積，都不是一個平方數，遂展開我們的研究。 研究結果 第一個方向 定理一：五個連續數的積不能成方 証明： 考慮5個連續數相乘，即，假設其積成方，現分六種情況討論。 第一類(有以下三種情況)：b和d 有2作公因子 情況一：a 和d 有3作公因子 由於在任意5個連續數之中，只可有2和3可以作為兩個數的公因子， 這樣，c 和e 就和其他數互質，如要成方，兩者都要是平方數，但不存在兩個差為2的平方數，所以不能成立。 情況二：b 和e 有3作公因子 証明基本如上，只是考慮a、c 和其他數互質就可以。 情況三：只得c是3的倍數 這時a 和c 互質，証明如上。 第二類(有以下三種情況)：a、c 和e有2作公因子 情況四：5個數中沒有3作公因子 這樣b和d 便和其他數互質，証明如上.。 情況五：a 和d 有3作公因子 由於a 是3的倍數，設a 為3k， ，由於b和其他數互質， 所以一定要是平方數， 否則不可成方，而b是奇數，所以除以8餘1 (所有奇數平方數除8餘1)，因此， ， ， 是奇數又和其他數互質，要乘積成方， 必是平方數， 但若它是平方數， e 都為平方數， 兩個差為3的平方數只有1和4，驗証便得結果。 情況六：b 和e 有3作公因子 這時設 及 ，d和其餘4數互質，又不可能是平方數 (由於所有平方數除以3都不餘2)，這樣乘積必不成方。 這六個情況已列出所有公因子出現的情況，發現其積都不可成方，所以任意5個連續數的乘積均不能成方。 定理二：六個連續數的積不能成方 証明： 現考慮平方數除以30的餘數，對於k30，由於， 故此，因此，如要列出所有平方數除以30的餘數，只要核查 k= 1到30的整數便可。我們發現以平方數除30的餘數必不是7、13、17、23、29，故此形如、、、或的整數必定不是平方數，且沒有2、3、5 作為因子，若此六個連續數包含形如 、、、或的整數，則此整數和其餘五個整數互質，而又非平方數，其乘積必定不能成方。 因此別無他選，此六個連續整數的積只可以是 或 其中没有因子2、3和5，故與其餘五個整數互質，所以這個數必需是平方數才可令積成方。 對於任何奇數， = 8k+1(因n(n+1)是偶)，由於30n+1是一平方奇數，故此30n + 1 = 8k+1( 15n = 4k ( n = 4M ( k = 15M ( 30n + 1 = 120M + 1 故此這六個連續整數可改寫為 或 其中這個數，可寫成。 沒有因子2、3、5， 必定和其餘5數互質，因此，六個連續整數的積要成方，必定為平方數，即 必定為平方數，但之前提過是平方數，且和相差3，只有1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6可合符要求，但1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6不是平方，所以六個連續正整數的積不能成方。 定理三：七個連續數的積不能成方 証明： 本上如證明6個連續正整數不能成方一樣，都是考慮平方數除以30的餘數，只有乘積 有機會成方， 煩但和作和6個連續正整數不能成方的証明時一樣考慮就可以。 定理四：八個連續數的積不能成方 証明： 首先設這8個連續數為 (n-3)， (n-2)， (n-1)， n， (n+1)， (n+2)， (n+3) 及 (n+4)。 設 正整數M= 正整數N= MN ………………………………….(*) 另外， = 其中 …………………………………………………………..(**) 結合 (*) 和 (**) 的結果，當，可得， 由於 是處於兩個連續正整數的