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数学奥林匹克初中训练题2 第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) , 则x、y、z的取值情况是( ). (A)全为正数 (B)全为非负数 (C)全为负数 (D)有且仅有一个为零 2.如图,在钝角△ABC中,BC=1,∠A=30°,D为边BC的中点,G为△ABC的重心.若B、C为定点,当点A运动时,线段GD长度的取值范围是( ). (A)0GD≤ (B)GD (C)0GD≤ (D) ≤GD≤ 3.设a、b为正整数,且a+b、a+5、b-2是某个直角三角形的三边长.则正整数对(a,b)的个数是( )个. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与直线y=k(x-1)-.无论k取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( ). (A)y=x2 (B)y=x2-2x (C)y=x2-2x+1 (D)y=2x2-4x+2 5.若x为实数,记{x}=x-[x]([x]表示不超过x的最大整数),则方程2006x+{x}= 的实根的个数是( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2的整数 6.如图,正方形ABCD内接于⊙O,P为劣弧CD上一点,PA交BD于点M,PB交AC于点N,记∠PAC=θ.若MN⊥PA,则2cos2θ-tanθ的值等于( ). (A)1 (B)／2 (C)1／2 (D)／4 二、填空题(每小题7分,共28分) 1.已知x、y为实数,且满足(x+)(y+)=2 008. 则x2-3xy-4y2-6x-6y+2 008的值等于 . 2.设实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=2.则u=|a|3+|b|3+|c|3的最小值为 . 3.在直角坐标平面内,已知A(- ,0)、B( ,0),点P在直线y=(x+4)+1上运动.当∠APB最大时,的值为 . 4.设Rt△ABC的三边长分别为a、b、c,且abc.若.则a∶b∶c= . 第二试 一、(20分)已知m、n均为正整数,且mn,2006m2+m=2 007n2+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论. 二、(25分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=12,E是边CD上一点,且.设过A、B、C、E四点的⊙O1的半径为R1,过A、C、D三点的⊙O2的半径为R2,且边BC与⊙O2相切. (1)求边CD的长; (2)求的取值范围. 三、(25分)求实数a的值,使得函数f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的图像为中心对称图形. 数学奥林匹克初中训练题2参考答案 第一试 一、1.D. 显然,(x+y)(y+z)(z+x)≠0. 去分母得xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=(x+y)(y+z)(z+x). 化简整理得xyz=0. 所以,x、y、z中至少有一个为零. 若x、y、z中有两个或三个为零,则x+y、y+z、z+x中至少有一个为零,等式无意义. 故x、y、z中有且仅有一个为零. 2.B. 因为∠A= 30°,且△ABC为钝角三角形,所以,点A在如图所示的不含端点的弧A1B、弧A2C上(其中,A1B⊥BC,A2C⊥BC).设G1为Rt△A1BC的重心,则BDGDG1D. 易知A1B= ,则G1D=A1D=.又BD=1/6,所以,1/6GD. 3.A. 若a+b为斜边长,则(a+b)2=(a+5)2+(b-2)2,即 2(ab-5a+2b)=29. 上式左边为偶数,右边为奇数,矛盾. 若a+5为斜边长,则(a+5)2=(a+b)2+(b-2)2,即 2(5a-ab-b2+2b)=-21.矛盾. 若b-2为斜边长,则(b-2)2=(a+b)2+(a+5)2,即 2(a2+ab+5a+2b)=-21.矛盾. 故满足条件的正整数对(a,b)不存在. 4.C. 由y=ax2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4得 ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0.① 由题设知,方程①有两个相等的实根,则Δ=(b-k)2-4a( c+k+k2/4)=0,即 (1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0. 因为k为任意实数,所以,抛物线的解析式为y=x2-2x+1. 5.C. 因为x=[x]+{x},所以,原方程可化为2 006[x]+2 007{x}=1/2 007. 又0≤2 007{x}2 007,所以,[x]=-1或[x]=0.若[x]=-1, 则{x}===1-1.