数学，从沙滩数数开始（代前言）一.沙滩试题，湖北牵头2009年湖北.docVIP

数学，从沙滩数数开始 （代前言） 一.沙滩试题， 湖北牵头 2009年湖北高考数学卷上的那道第11题，恐怕连出题人当时也不曾想到，考后会在社会上引起这么广泛的关注。不仅有高中师生，还有初中师生，小学师生甚至他们的家长，也纷纷卷了进去！这到底是一种什么力量在起作用，我们不妨先走近那道考题： 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 以下，我们将这三个层次学生的解法，还有一些看似与考试无关的人们的趣谈妙议公布出来，供各位比较，赏析，相信一定是一件快事. 二，逐一验算，苦头吃够. 他叫田日新，这一年在湖北参加高考，虽然总分达到598分，过了一本录取线，可是数学考得不理想，在总分为150分的数学卷中，他只拿到112分.其重要原因之一，是那道“要命”的11题耽误了他太多的时间.那一题，他是这样做的： 【解法1】首先检验这四个数中，哪些是正方形数. 显然，.第n个正方形数是，令=289，得n=17；令=1024，得n=32；令=1225，得n=35;令=1378，无整数解，舍去. 综上：只有289，1024，1225是正方形数，排除D. 其次考察所余三数中哪个又是三角形数. 因为第m个三角形数是：1+2+3+…+m=. 令 =289，化简得：.此方程的判别式△=1-4×1×（-578）=2313不是完全平方数，没有整数解，故排除A; 令=1024,化简得：.此方程的判别式△=1-4×1×（-2048）=8193，也不是完全平方数，没有整数解，再排除B. 既是A,B,D项已排除，所以只有C是对的，故选C. 虽然他最后做对了，可是在时间和精力上都吃了亏.，他感到不值. 三、河北中考 沙滩再秀 高考之后，田日新来到河北保定，去会见他阔别已久的妹妹.她叫田月红，是这年河北中考的地区状元，特别是满分为120的数学考试中，她取得骄人的118分， 他惊奇地发现，河北的中考题中，居然有一道与湖北的高考题十分类似.那道题是： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图3中可以发现，任何一个大于1的 “正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数” 之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ） A．13 = 3+10 B．25 = 9+16 C．36 = 15+21 D．49 = 18+31 他问妹妹：“这道题你是怎么做的？”妹妹说： “这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，，45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和.很容易看到：恰有15+21=36，故C项是对的，选C.” 哥哥大为震撼：妹妹的解法比自己高明得多啊！不过，他还是不动声色地考妹妹： “那么，你怎样证明： 任何一个‘正方形数’一定是两个相邻 ‘三角形数’之和呢？” 妹妹想了一下，说： “如前所述：. 设两个相邻的三角形数分别是： 结果正是平方数，也就是‘正方形数’.” 哥哥鼓掌道：“做得好！只是有一点小毛病，你证明的是我说的命题的逆命题，而原命题你还得重新证明.” 妹妹脸红了，没想到一向心细的她，居然在哥哥面前‘掉底子’.她急忙补充道： “证明原命题也不难.任何一个正方形数都可以写成的形式.而 ∵， ∴是两个相邻的三角形数.且,得证.” 四、考场盲点，原是质数 妹妹的数学功底，哥哥算是领教了.于是他指着湖北卷的那道题，虚心地说：“妹妹，高考中我的这道题与你们的这道中考题类似，但是我做得不好.能告诉我你的想法吗？” 妹妹一瞧就乐了：“这还不简单，选C呗.” “为什么选C？”妹妹的速度太快了，哥哥感到吃惊. 妹妹答：“首先，289，1024，1225是平方数，即正方形数，而1378不是，排除D.” 哥哥又吃了一惊.判断这几个数是否平方数，在考场上他化去了至少5分钟的时间.而妹妹竟如此轻而易举. 于是再问：“你判断平方数怎么这么快？” 妹妹耐心地说：“将一个正整数分解质因数之后，只有每个质因数的指数都是偶数，这个正整数才是平方数.和是我早就背熟了的.而1378 分解质因数得，这些因数的指数没有一个是偶数，怎么可能是平方数？” “所以你就认定，题设的四个数中，前3个都是正方形数？” 妹妹点头，继续说：“其次，1225=1+2+3+…+49，所以它既是正方形数，又是三角形数，所以我就选C了.” 这句话，