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与整数有关的含参数一元二次方程的解法 许永江 对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。这里经常要用到一些整除性质。一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。但其解法仍然是有章可循的。 一1、试确定m为何值时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整 数根。 解：首先，m2-1≠0，则m≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3． 用求根公式可得 ∵ x1，x2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。 　　m=2．这时x1=6，x2=4。 评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质 以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。 二、巧用因式分解法 a2x2 - ( 3a2- 8a )x + 2a2-13a +15 = 0（其中a是非负整数）至少有 一个整数根，求a的值。. 分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax－2a +3=0和ax－a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a的值。 解：原方程可化为： a2x2－(3a2－8a)x＋(2a－3)(a－5)＝0 方程左边分解因式,得　 (ax－2a＋3)(ax－a＋5)＝0 ∴ ∵ 原方程至少有一个整数根， ∴ a的值为3，或5，或1。 例3、当k为何整数时，关于x的二次方程x2－3kx+2k2－6=0两根都为整数。 分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k的值. 解：由x2－3kx+2k2－6=0，得 (x-2k)(x-k) = 6 ∵ x、k为整数， ∴ 原方程化为 或 或 或 ∵ 由于x－2k与x－k同号， 故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。 评析：利用因式分解可以把原方程进行完全分解或部分分解，转化成几个不定方程，然后利 用整数的性质可以来解决。 三、巧用判别式来解决 例4、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，试求m的值． 解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数． 令 Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数， 　　m2-6m+1=n2， 　　 (m-3)2-n2=8， 即 (m-3＋n)(m-3-n)＝8 　　m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3) 是偶数， ∴ m-3＋n与m-3-n同奇偶， ∴ 或 ∴ 或 （舍去） 　　　所以当时，这是方程的两根为和。 评析：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定 是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决． 四、巧用求根公式与判别式的结合来解决 例5、试求所有这样的正整数a，使得方程a2-2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解首先=[-2(2a-1)]2-4a[4(a-3)]=32a+4是一个完全平方数 32a+4=22(8a+1)，∴ 8a+1必须是完全平方数。8a+1是奇数，设8a+1=(2k-1) 2,k是整数 则a0，∴ k1或k0此时=(4k-2) 2 ∴ 方程a2-2(2a-1)x+4(a-3)=0的根是 ， 若1是整数，则设，b是整数则k只能等于±4，±2，±1但k=1与k1或k0不符，舍去 k=±4，±2，-1 对应的a=6,10,1,3,1。 若X2是整数，则设，c是整数 ∴ k-1=±4，±2，±1但k-1=-1与k1或k0不符，舍去k=5,3,2,-3,-1 ∴ 对应的a=10,3,1,6,1。当a=1,3,6,10时方程a2-2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求 a的值． 解：当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解． 当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根， 说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数， 从而9-4a是完全平方数． 令9-4a=n2，则n是正奇数，且n ≠ 3（否则a = 0）∴ 又由求根公式可得 　 ∴ 　x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2． 要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10． 　a的值为2，-4，-10． 评析：本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求 根．有时候，往