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第十二章 数项级数 §1级数的收敛性 证明下列级数的收敛性，并求其和数： （1） 解 因为 所以，由定义知该级数收敛，且和为。 （2） 解 是公比为的级数，故收敛于，同理收敛于，由级数的性质知，收敛于. (3) 因 从而 . 故该级数收敛,其和为. (4) 因为其通项为 所以 所以 . 故该级数收敛且其和为. (5) 由于 所以,.故原级数收敛,且其和为3. 2.证明:若级数发散,则也发散. 证 (反证法)若收敛,则由知 因此,由定理12.2知也收敛,与题设矛盾,从而当发散时,也发散. 3.设级数与都发散,试问一定发散吗?又若与都是非负数,能得出什么结论? 解 当与都发散时, 不一定发散.例:与都发散,而收敛. 但当与都是非负数时,则一定发散,证明如下: 由发散知,存在,对任何自然数,总存在自然数和,有 从而 . 由柯西准则知发散. 4.证明:若数列收敛于,则级数 证 由已知 所以, . 2 正项级数 应用比较原则判别下列级数的敛散性： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 解（1）由于而收敛，故级数 收敛 （2）因为 ，而收敛，故收敛 （3）因为，而发散，故原级数发散 （4）因为，而收敛，故原级数收敛。 （5）而收敛，故原级数收敛。 （6），而发散，故原级数发散。 （7）因为 又发散，故发散 （8） 而收敛，故原级数收敛。 （9） 而收敛，故收敛。 2．用比较判别法或根式判别法判定下列级数的敛散性： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 解（1）因为 由比试判别法知该级数发散。 （2）因 由比试判别法知该级数发散。 （3）因，由根式判别法知该级数收敛 （4） 因，由比试判别法知该级数收敛 （5）因，由根式判别法知该级数收敛。 （6）因为 由比试判别法知该级数发散。 （7）因 ，从而当时，该级数发散；时，该级数收敛；时敛散性不定 设和正项级数，且存在正数时，对一切，有 证明：若级数收敛，则级数也收敛；若发散，也发散 证 由题意知：当时，，从而对，有 故，由于是常数，故由比试判别法知，当收敛时收敛，当发散时，也发散。 4．设正项级数收敛，证明亦收敛；试问反之是否成立？ 证 由收敛知，于是存在，当时，，从而时，有，由比较原则知也收敛。 反之不成立，例如收敛，但发散。 5．设，且有界，证明收敛。 证 设，则，从而，而收敛，由比较原则知，收敛。 6，设级数收敛，证明也收敛。 证 由于，而，都收敛，得 收敛 有比较原则，收敛。 总练习题 证明:若正项级数收敛,且数列{}单调,则 分析 运用柯西准则将收敛的数学表达方式表示出来. 证明 由于正项级数收敛,即 故数列{}单调递减,由柯西准则知0,N,对一切nN,有 0 又当nN时 , i=1,2,,n-N 从而当nN时 当n2N,则 因而 故 2. 若级数与都收敛,且成立不等式 (n=1,2, ), 证明级数也收敛.若,都发散,试问一定发散吗? 证明 由于,收敛,可知亦收敛.再由知 收敛.故=+收敛.但当级数,都发散时,级数不一定 发散,例如=,=都发散.若取亦满足不等式,而=是发散. 若取,亦满足不等式,但级数条件收敛. 若取,亦有,但级数绝对收敛. 3.若=k0,且级数绝对收敛,证明级数也收敛.若上述条件中只知道收敛,能推出收敛吗? 证明 由于=k0,即,由比较原则收敛,即也收敛. 若只知收敛,则不一定收敛.例如,设, 则 = 而=收敛,但= 发散. (1) 设为正项级数,且1,能否断定收敛? (2) 对于级数有,能否断定不绝对收敛,但可能条件收敛? (3) 设为收敛的正项级数,能否存在一个正数,使得 . 分析 本题考虑条件的充分必要性判断. 解 (1)否. 如 ,有 但=发散. (2 ) 否. 由