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利用图形计算器探究高次不等式的解法 作者： 冯祺 单位：青岛第十五中学 高一5班 指导教师：于照 联系方式：青岛延安路90号 时间：2008年12月 利用图形计算器探究高次不等式的解法 摘要：在中学阶段通过传统作图法主要研究一元一次，一元二次不等式的解法；但受作图工具的影响，高次函数的图像很难画出。借助图形计算器，利用它强大的作图功能，很容易画出函数图像，根据函数图像可以轻而易举获得高次不等式的解集。 关键字：图形计算器 高次不等式 提出问题： 学完一元二次不等式的解法后，老师留了这样一道思考题：求的解集。我用分类讨论的方法得到了正确答案；老师又给我们提出更高的要求：如何解决高次不等式的求解问题。此时如果仍用分类讨论的方法会很繁杂。由于不等式的解集实质就是函数当时的自变量x的取值范围，因而，可以通过作出函数图象来观察不等式的解集。但手工作出高次函数的图象十分困难。因此，我想借助图形计算器强大的作图功能解决这一问题。 实验探究： 我用图形计算器作出函数，然后探究方程的根与不等式的解之间的联系。 1. 解集 2. 解集 3. 解集 4. 解集 结论：1. 令，即方程，可知方程有n个根，也就是说图象和x轴有n个交点。 2. n个根把x轴分成n+1个区间，在最右一个区间，其余区间函数值的符号从右到左“负正相间”。 三、 引申反思： 当我把研究结论拿给老师看后，老师进一步提出这样四个不等式的求解： (1) (2) (3) (4) 我又用图形计算器作出了它们所对应的四个函数图象： (1) 解集 (2) 解集 (3) 解集 (4) 解集 结论：(1)在偶次根处图象不穿过根，折回进入下一根；最右侧的区间，还是，但是重根左侧的区间要重复重根右侧区间的函数值符号。然后，再遵循“负正相间”的符号变化规律。 (2)在奇次根处图象穿过根，进入下一根；最右侧的区间，还是，但是重根左侧的区间与重根右侧区间的函数值符号相反。然后，再遵循“负正相间”的符号变化规律。 四、 收获与体会： 图形计算器的功能的确强大，我们可以利用它帮助我们解决一系列的难题，增强了我们的动手与实践能力，培养了我们的逻辑思维能力和探究能力。 五、 教师点评： 通过图形计算器强大的作图功能，学生短时间内作出大量手工描点费时的函数图象，获得丰富的感性认识，学生亲历了知识的产生和发展过程，回避了传统教学过程中学生获得知识只能靠老师的“灌输”，甚至只能单纯记忆现成的结论。利用图形计算器，可以活跃学生的思维，增强学生的动手能力和探究意识。 数学本身是一门实验科学，尝试与验证、归纳与猜想是十分必要的，从这个意义上讲，图形计算器应作为学生学习数学的必备工具。但研究数学不能依赖图形计算器，只有通过自己的思考并利用好它，才能发现问题的实质，解决问题。 （指导教师：于照） 5