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第8章 四元数 8.1 四元数の表記 四元数 ( しげんすう) quaternion ( クォータニオン) とは、簡単に言うと、複素数の虚軸を三次元 に拡張したものです。複素数は a, b を実数、i を虚数単位として、a + bi のように表されます。 四元数はこれと同様に、w, x , y , z を実数、i,j , k を虚数単位として、w + xi + yj + zk のように表さ ̂ れます。ここでは四元数 を、q , q , q , q を実数として、次のように表記するものとします。 x y z w (25) ここで (q , q , q ) をベクトル q で表すと、次のように書くことができます。 x y z v (26) ̂ したがって、 は次のように書くこともできます。 (27) 8.2 四元数の定義 ̂ 四元数 は次のように定義されます。 (28) ここで、ベクトル qv を次のように定義します。 (29) ̂ このとき、四元数 はベクトル qv とスカラーqw の和で表すことができます。 (30) 119 ここで虚数単位 i,j , k には、次の性質があります。 (31) 8.3 四元数の演算 8.3.1 積 四元数同士の積は、四元数の定義から、次のようにして求めることができます。 (32) これを求める手続きの C 言語による例を、以下に示します。この関数 qmul() の引数 p, q, r は 四元数のx, y , z, w をこの順に格納した 4 要素の配列で、q とr の積を p に求めます。 /* ** p - q * r */ void qmul(float *p, const float *q, const float *r) { p[0] = q[1]*r[2] - q[2]*r[1] + r[3]*q[0] + q[3]*r[0]; p[1] = q[2]*r[0] - q[0]*r[2] + r[3]*q[1] + q[3]*r[1]; p[2] = q[0]*r[1] - q[1]*r[0] + r[3]*q[2]