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教 学 案 例 姓 名： 石玉星 学 科： 数学 课 题： 对圆锥曲线中与焦点弦有关的性质的初步研究 教 材： 人教新版 写作时间： 2005年10月 写作时工作年限： 6 【指导思想与理论依据教学背景分析教学内容分析学生情况分析教学方式与教学手段说明? 1. 知识目标： 掌握利用信息技术探索研究数学问题的基本方法和步骤，掌握常见的与抛物线焦点弦有关的性质，并能证明它们，学会利用类比猜想的方法把抛物线的有关性质向椭圆和抛物线推广. 2. 能力目标：通过对与焦点弦有关的性质的研究性学习培养学生探究的能力、分析证明的能力、类比推广的能力和动手实践的能力，进一步增强学生应用现代化技术手段解决数学问题的意识，通过分组研究讨论培养学生团结协作的能力，提高学生的科学思维素养. 3. 思想目标：通过对问题的推广使学生认识到事物之间是相互联系的辩证思想，同时进行数学审美教育，通过学生自己动手实验使学生获得成功的体验，激发学生的学习兴趣，从而提高学生的整体素质. 【教学重点与难点】 重点：1.利用TI图形计算器探索与圆锥曲线的焦点弦有关的性质. 2.借助TI图形计算器证明所得出的结论. 难点：对利用TI图形计算器探索出的结论给出严谨的证明. 【教学方法与教学手段】 教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探索、合作解决） 教学手段：利用计算机、实物投影和TI图形计算器等辅助教学 【教学过程设计】 一、复习提问，明确学习目标 教师提问：椭圆、双曲线和抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程分别是什么？求轨迹方程的一般步骤是什么？常用的方法有哪些？证明两直线垂直的方法有哪些？ 教师在学生回答的基础上进行归纳总结.并且指出在椭圆、双曲线和抛物线中过焦点的弦叫做焦点弦.在圆锥曲线中有许多有趣的性质都和焦点弦有关，今天我们就借助TI图形计算器来研究一下有关性质. 二、提出研究问题，分组探索研究 教师：已知抛物线，过焦点的弦AB交抛物线于A（），B（）. 1.探索、与的关系 教师启发引导：测量A、B的坐标，计算和，移动点A，你会发现什么？ 学生会发现无论A如何运动，和都是定值（由于每个学生画的抛物线不同，定值可能有所不同），教师在学生回答的基础上引导学生发现这两个定值和有关系，即和. 教师引导：画图验证不能代替证明.你们能不能从理论上加以证明呢？ 教师鼓励学生自己给出证明：的焦点为，设弦AB所在的直线方程为，消去得下图： 即 （※） ， 又异号， 当直线AB的斜率不存在时，直线方程为，此时，显然和也成立. 教师在学生证明完后指出：如果消去x运算量会小得多. 教学流程： 学生：自主探索 → 展示交流 → 合作证明 教师：启发引导 → 点拨释疑 → 激励完善 2.探究与轨迹有关的问题 （1）研究弦AB中点的轨迹，并推广到椭圆和双曲线 教师鼓励学生自主探索弦AB中点C的轨迹，并求出该轨迹.引导学生探索后发现 中点C的轨迹是以焦点F为顶点，开口向右的抛物线，并给出证明：设C（x，y），在（※）式中，故，，消去k得，所以中点C的轨迹是以焦点F为顶点，开口向右的抛物线. 教师进一步引导学生提出问题：以上的这些性质椭圆和双曲线具备吗？为了和抛物线做类比，我们用过椭圆的左焦点的弦、过双曲线的右焦点的弦做实验.建议每个小组的同学分工分别研究椭圆和双曲线，学生在探索后会发现椭圆弦中点的轨迹是以F1O为直径的圆，而双曲线中则是以OF2为实轴的双曲线，非常有意思.但是和都不是定值. 在学生证明时，教师鼓励学生利用TI图形计算器帮助运算. 设C（x，y），消去y的运算可以用TI图形计算器帮助进行，如图， 即，由根与系数的关系得，所以，输入TI图形计算器中，如图求出 y=， 用求出k=-，代入y=k（x+c），如下图： 整理得即，显然C的轨迹是以OF1中点为中心，以F1O为长轴的椭圆. 如此一来节省了学生的运算时间，使他们把更多的时间投入到探索和思考中.对于双曲线的情形课下请同学们自己证明. （2）过顶点O做弦AB的垂线，研究垂足H的轨迹 过顶点O做弦AB的垂线，垂足H的轨迹会是什么呢？教师鼓励学生自主探索，建议每个小组的三人对抛物线、椭圆和双曲线分工，自主探究，然后相互交流，会发现都是以OF为直径的圆，最后分别给出证明.在证明时教师提示利用会非常简便. 教学流程： 学生：自主探索 → 类比猜想→ 分组探索 →展示交流 → 合作证明 教师：启发引导 → 参与猜想→ 个别指导→ 组织讨论 → 点拨完善 3.研究和圆有关的问题 （1）对以AB为直径的圆