九年级数学第一册第一章证明.docVIP

九年级数学（上册）考点解析 第一章：证明（二） §1.3 线段的垂直平分线 一、考点解析 1、线段垂直平分线的性质定理及其应用； 2、线段垂直平分线的判定定理及其应用； 3、三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状之间的关系以及相关性质； 4、有关线段垂直平分线的作图问题. 二、典型例题解析 例1、如图1，已知AD是△ABC的外角平分线，与BC的延长线交于点D，DE∥AC交BA的延长线于点E，DF∥AB交AC的延长线于点F，求证：AD⊥EF. 证明：∵AD平分∠CAE，∴∠CAD＝∠EAD， ∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD ∴∠ADE＝∠EAD，∴AE＝DE， ∴点E在线段AD的垂直平分线上， 同理可证：AF＝DF， ∴点F在线段AD的垂直平分线上， ∴直线EF垂直平分线段AD，即AD⊥EF. 例2、如图2，已知在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝2∠C，求证：△ABC是直角三角形. 证明：作BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接BD、DE，则BD＝CD，BE＝CE＝AB，∠DEB＝90°， ∴∠C＝∠DBC，∵∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝2∠C， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△EBD中，AB＝EB，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD， ∴∠BAC＝∠DEB＝90°，即△ABC是直角三角形. 例3、已知A、B是平面上的两个定点，在这个平面上有多少个点C，使得△ABC是等腰直角三角形？ 解：一共有6个点C使得△ABC是等腰直角三角形.分以下两种情况讨论： （1）当AB为所求等腰直角三角形的腰时，如图3—1所示，点均满足条件； （2）当AB为所求等腰直角三角形的斜边时，如图3—2所示，点均满足条件.综合（1）、（2）可知满足条件的点C一共有6个. 例4、如图4—1，已知线段和∠，求作△ABC，使得在△ABC中，∠ACB＝∠，AC＝，AB＝.（保留作图痕迹，标明顶点名称，写出作法） 作法：如图4—2，△AB1C和△AB2C即为所求. （1）作∠DCE＝∠， （2）在射线CE上取一点A，使CA＝， （3）以A为圆心，以线段的长度为半径，作弧交射线CD于点B1、B2， （4）连接AB1、AB2，则△AB1C和△AB2C即为所求. 思考：在△ABC中，已知∠ACB＝45°，且AC＝6，AB＝5，求BC边的长. 解：如图4—3，△ABC有图中的△AB1C和△AB2C两种可能的情况： （1）当点B位于图中的点B1处时，过A作AD⊥CD于点D，则： 在Rt△ACD中，由∠ADC＝90°，∠ACB＝45°，AC＝6得：AD＝CD＝， 在Rt△AB1D中，由∠AD B1＝90°，AD＝，A B1＝5得：B1D＝， ∴B1C＝； （2）当点B位于图中的点B2处时，过A作AD⊥CD于点D，则： 在Rt△ACD中，由∠ADC＝90°，∠ACB＝45°，AC＝6得：AD＝CD＝， 在Rt△AB2D中，由∠AD B2＝90°，AD＝，A B2＝5得：B2D＝， ∴B2C＝； 综上可知，边BC的长度为或. 自我测评试题 一、选择题 1、如果一个三角形三边垂直平分线的交点在这个三角形内，那么这个三角形是（ ）. A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上情况都有可能 2、如图5，已知A、B是直线m外两点，在m上求作一点P，使得PA＋PB最小，其作法应该是（ ）. A、连接BA并延长，与直线m的交点为P； B、连接AB，作AB垂直平分线与m的交点为P； C、过点B作直线m的垂线，与m的交点即为P； D、过点A作直线m的垂线，垂足为O，延长AO到点A′，使OA′＝OA，在连接A′B，则A′B与直线m的交点为P； 3、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，且△ABC和△BCD的周长分别为60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边长分别是（ ）. A、24cm和12cm B、16cm和22cm C、22cm和16cm D、20cm和16cm 4、如图6，已知在△ABC中，∠ACB＝70°，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则∠BDC＝（ ）. A、80° B、70° C、60° D、55° 5、已知A、B、C是同一平面上的三个点，那么到这三个点的距离都相等的点（ ）. A、有且只有一个 B、有两个 C、三个或三个以上 D、有一个或没有 二、填空题 6、已知在△ABC中，AB＝AC，点P在△ABC内，且PB＝PC，则直线PA与BC所在直线的夹角的