導數的意義.docVIP

數學實驗報告 實驗課題: 導數的幾何意義 班級 ______ 姓名 __________ 日期 ___________ 成績 _________ 實驗目的 學習研究函數性質的方法 學習借助計算機作圖 學習觀察和分析圖形的特性 理解導數的幾何意義 曲線的斜率 曲線的上升或下降 註點 實驗設備(環境) 硬件: 數學實驗室 – 一人一機 軟件: DM_Lab2.2 預習 -- 導數的定義 如圖: 己知函數f: y=f(x)，A(x,y)及A’(x+△x, y+△y)是f上的兩點: 則 A的y座標Ay = y = f(x) ； A’的y座標 A’y = y+△y= f(x+△x) ； 直線AA’ 的斜率 ； 當A’沿曲線向A靠攏時，△x→ 0 ；換句話說，當△x→0時: A’ 點沿 曲線 趨向 A 點； 直線AA’ 趨向函數曲線f在A點上的 切線 ； 導數的定義式是: 。 實驗過程 曲線的斜率 作圖 步驟1. 打開DM_Lab, 開啟直角座標系，作x軸，作y軸 點選「座標/直角座標系」； 點選「座標/作x軸」； 點選「座標/作y軸」； 步驟2. 作函數圖象: 在「函數作圖工具」下鍵入: fy1=(x+4)*(x+1)*(x-3)/5+5 按[Enter]鍵後即作出函數的圖象； 步驟3. 在曲線上取點A和A’ 點選； 再用鼠標在函數圖象上點一下，得點A； 按著[Shift]鍵，再用鼠標在函數圖象上，A點的右方點一下，得點B； 雙擊B點，將字母B改為A’； 步驟4. 作直線AA’ 用工具，用鼠標先點一下A點，再點一下A’點，作得直線AA’。 觀察、思考與分析 設y=f(x)， A(x, y)，A’(x1, y1)在f上； 記: △x=x1-x，△y=y1-y； 則 x1= x+△x ， y1 = y+△y ； y = f(x)， y1 = f(x1)； = y+△y = f(x+△x) = △y = f(x+△x) - y = f(x+△x) - f(x) ； 直線AA’的斜率； 慢慢移動A’和A靠攏，這時對應的 △x→ 0 ； 當A’與A重合時，直線AA’與函數曲線 相切 ，這時對應的k就是函數曲線在 A 處的 斜率 ； 用極限來表示這一過程就是: ； 根據導數的定義，這就是函數y=f(x)在 A點的導數 ； 結論 函數y=f(x)在A點的導數就是函數在點A的 切線的斜率 。 函數y=f(x)的導數f’(x)的幾何意義是: f’(x)是函數y=f(x)的切線的斜率 。 曲線的上升或下降 重新作圖 步驟1. 打開DM_Lab, 開啟直角座標系，作x軸，作y軸 點選「座標/直角座標系」； 點選「座標/作x軸」； 點選「座標/作y軸」； 步驟2. 作函數圖象: 在「函數作圖工具」下鍵入: fy1=(x+4)*(x+1)*(x-3)/5+5 按[Enter]鍵後即作出函數的圖象； 步驟3. 在函數圖象上取四點: A、B、C和D，分成三個區段； 用工具，在函數曲線上點一下，得A點； 按著[Shift]鍵，再用鼠標在函數曲線上，A點的右方點一下，得點B； 重覆上述操作得C和D； 將A點移到左邊較低處； 將B點移到A點右方第一個“山峰”最高處； 將C點移到B點右方第一個“山谷”最低處； 將D點移到C點右方較高處； 步驟4. 自A、B、C、D四點向x軸作垂線，垂足分別為a1、a2、a3和a4。 用工具，點一下A，然後再點一下x軸得垂足，雙擊垂足點改名為a1； 重覆上述操作，得四條垂線和四個垂足: a1、a2、a3和a4； 用工具，將四條垂線改換成虛線。 步驟5. 在函數圖象上任取一點P； 用工具，在函數曲線上點一下，得P點； 步驟6. 過P作函數曲線的切線； 用工具，點一下P點，得過P的切線； 移動P點沿曲線滑動，可見到切線隨之而變動。 觀察、思考與分析 研究函數在區間 (a1, a2) 段的單調性和導數的正負； 由觀察圖象，知函數在區間 (a1, a2) 的單調性是 單調上升 ； 將P移到A和B之間，這時切線方向總是由 左下 到 右上 方向；表明這時切線的斜率是 正(+) ，即導數f’(x)的符號是 正(+) ； 研究函數在區間 (a2, a3) 段的單調性和導數的正負； 由觀察圖象，知函數在區間 (a2, a3) 的單調性是 單調下降 ； 將P移到B和C之間，這時切線方向總是由 左上 到 右下 方向；表明這時切線的斜率是 負(-) ，即導數f’(x)的符號是 負(-) ； 研究函數在區間 (a3, a4) 段的單調性和導數的正負； 由觀察圖象，知函數在區間 (a3, a4) 的單調性是 單調上升 ； 將P移到C和D之間，這時切線方向總是由