有理数集和实数集合.pptVIP

自言自语 数学中不少结论由于其巧妙无比而令人赞叹，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。 有理数的集合特点 有理数是可数的——与自然数一样多 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。 1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。 康托（Georg Cantor; 1845—1918） 先数数偶数 这个世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？ 再数数平方数 这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？ 可数集 整数、格点与有理数的比较 有理数是可数集 有理数的长度为0 有理数在数轴上所占的长度为0 如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙，它们能占用多大的长度？ 有理数的长度为0 有理数们，排出来！ 每“人”发一顶帽子戴一戴！ 4. 有理数的长度为0 量一量有理数帽子总宽度！ 总结一下… 总结一下… 实数理论的建立 由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。 有理数扩充的直接结果是实数集。 关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。 实数理论的建立 19世纪，德国数学家 康托（G. Cantor, 1845---1918）、 戴德金(J. W. R. Dedekind, 1831—1916) 、 魏尔斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 1815—1897 ） 通过对无理数本质进行深入研究，奠定了实数构造理论。 康托（Georg Cantor; 1845—1918） 魏尔斯特拉斯﹐K.W.T., Weierstrass K.T.W Weierstrass (1815—1897) 德国数学家 先修财务、管理、法律，后学数学 1854年，哥尼斯堡大学名誉博士；1856年，柏林科学院院士 数论、几何、复分析 戴德金﹐R. (Dedekind, Richard __1916 ) 实数集的代数属性 实数集是数域 实数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律。 要严格地证明这一点是困难的，它需要考虑实数的有序性、四则运算的具体定义等。 实数集的几何属性 实数在数轴上是连续的、无缝的。 （1）数学分析中有六个等价命题 单调有界数列收敛原理； 致密性定理； Cauchy收敛准则; 确界定理； 聚点原理； 闭区间套定理； 有限覆盖定理. 实数集的几何属性 （2）可以进行极限运算——这是微积分建立的基础 实数集的集合特点 实数集是不可数的——与自然数不能建立1-1对应。 假如实数可数，先把(0,1)内的编号吧！ 假如可将0与1之间的实数编号： 实数集是不可数的 实数集是不可数集 无限集合的基数 從以上證明，我們彷彿證了 分數數量 ? 整數數量。但由於整數亦是分數的一部分，所以它們才相等。 從以上證明，我們彷彿證了 分數數量 ? 整數數量。但由於整數亦是分數的一部分，所以它們才相等。 * 深圳市教师继续教育课程《数学欣赏》 * * * * SZU 德国著名数学家大卫?希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。 一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。…… Hilbert 的旅馆 1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。 11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。 1 2 3 4 5 6 7 8 … 2 4 6 8 10 12 14 16 … ? ? ? ? ? ? ? ? 知道了： 所有正整数和所有正偶数都一样多！√ 1 2 3 4 5 6 7 8 … 12 22 32 42 52 62 72 82 … ? ? ? ? ? ? ? ? 知道了： 所有平方数和所有正整数都一样多！√ 像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫做可数集。 因此偶数数集、平方数集都是可数集。 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x y 1 ? (1 , 1) 2 ? (2 , 1) 3 ? (1 , 2) 4 ? (3 , 1) 5 ? (2 , 2) 6 ? (1 , 3) … ? … … 结论：格点数量 = 整数数量 看看格点与整数的比较 1 2 3 4 5 6 … ? ? ? ? ?