1极限的概念.ppt

一、概念的引入 二、数列的定义 四、数列极限的性质 五、小结 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结 四、极限运算法则 五、求极限方法举例 六、小结 1、定义： 2、几何解释: 注意： 例2 证 例3 证 例4 证 函数在点x=1处没有定义. 例5 证 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 左右极限存在但不相等, 例6 证 1.有界性 2.唯一性 推论 3.不等式性质 定理(保序性) 定理(保号性) 推论 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 证 例如, 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. 例7 证 二者不相等, 函数极限的统一定义 (见下表) 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 定理 证 由无穷小运算法则,得 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播放 ——刘徽 §1 极限的概念 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 播放 三、数列的极限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 几何解释: 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 例3 证 例4 证 1、有界性 例如, 有界 无界 定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2、唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 例5 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 3、子数列的收敛性 注意： 例如， 定理3 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证 证毕． 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性. 思考题 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时，必有 成立 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大” 的值 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件． 反而缩小为 练 习 题 播放 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1、定义： 2、另两种情形: 3、几何解释: 例1 证