理论力学 作者 顾晓勤 等 第2节 质点运动微分方程.PPTVIP

* 第 2 节 质点运动微分方程 第九章 质点动力学 * 1、矢量形式 设质量为 m 的质点 M 受合力作用沿空间曲线运动，由动力学基本方程： 质点运动微分方程 牛顿第二定律 此式即为质点运动微分方程的矢量形式。 M 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 2、直角坐标形式 将矢量式向固定直角坐标系 Oxyz 的各坐标轴投影，得到直角坐标形式的质点运动微分方程： 自然坐标系 M 直角坐标形式的运动微分方程，原则上适用于所有的问题，特别适用于计算机编程求解，但对某些问题，仍有不方便之处。例如质点沿球面或柱面运动，用直角坐标就不如用球坐标或柱坐标方便。 3、自然坐标形式 当质点的运动轨迹已知时，将动力学基本方程投影到自然轴系上，得到质点运动微分方程的自然形式： O M 其中 质点动力学问题大致可以分为两类 第一类问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。在这类问题中，质点的运动方程或速度函数是已知的，将其对时间求导数，得到加速度，将加速度代入质点运动微分方程，即可求得作用力。 第二类问题：已知作用于质点的力，反求质点的运动。在这类问题中，已知的作用力可以是常力，也可以是变力。变力可能是时间的函数、坐标位置的函数、速度的函数。在求质点的运动时，将已知作用力的函数代入质点运动微分方程后，往往要进行一次或二次积分运算，每积分一次，需要确定一个积分常数。积分常数由质点运动的初始条件确定。 1）明确研究对象，选择适当的坐标系； 2）受力分析并画出受力图(隔离物体)； 3）进行运动分析，计算出求解问题所需的位移、 速度和加速度； 4）列质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问 题还是第二类问题，或是第一、二类混合问题； 5）利用其它的约束条件列补充方程； 6）先用文字符号求解，后带入数据计算结果。并 根据需要对结果进行必要的分析讨论。 求解动力学问题的解题步骤 解： 由已知的运动方程可求出质点M的加速度在固定坐标轴 Ox 和 Oy 上的投影： 式中a、b为已知常数，试求作用于质点M上的力。 例9-1 质点M的质量为m，在平面内运动规律为： 作用在质点M上的力在Ox和Oy上的投影为： 设 i、j 分别为沿 Ox、Oy 轴的单位矢量，则质点 M 所受的力为： 作用在质点M上的力在Ox和Oy上的投影为： 解： 采用自然坐标形式的质点运动微分方程 故 式中 为 时弧坐标值。试求作用于该质点的力F 的大小并表示为时间t的函数。 例9-2 质量为 的质点沿半径为 的圆周运动，运动规律为 解： 将电车视为质点，沿轨迹的受力如图，其中牵引力 例9-3 已知电车的质量 1500kg，运动时的阻力 1500N，初速度 。司机逐渐开启变阻器增加电动机的驱动力，使电车的牵引力从零起与时间成正比地增加，增速为 1000 N/s。试求电车启动时加速运动规律。 O M 建立自然坐标，切向投影 当 时，电车静止； 当 时，电车加速运动 代入 m 数据得 O M 两次积分并代入初始条件得 积分得 根据初始条件： 时， 代入得 解： 将火箭当作质点，地球对火箭的万有引力大小为： 例9-4 已知地球半径 6371km，由地面竖直向上发射火箭，不考虑空气阻力。求火箭能飞出地球引力场作星际飞行所需的最小初速度。 在地球表面附近时， ，则 r R 设火箭的初速度为 ，则火箭的运动微分方程为 r R 分离变量得 积分得 r R 若不考虑其它星体引力，火箭要脱离地球引力场的条件是 当 时， 故火箭能飞出地球引力场作星际飞行所需的最小初速度为 第二宇宙速度 解： 取开伞点为坐标原点 O，x 轴垂直向下，则运动员与降落伞的运动微分方程为： 由运动学知 令 则有 例9-5 跳伞运动员垂直降落，设开伞后运动员的下降速度 ，空气阻力 与 成正比，求运动员下落的运动规律。 x o