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弹塑性力学 第2章 应变分析 一点的应变状态，应变与位移的关系 应变张量与应变偏量 主应变 应变协调方程 在外力作用下，物体内各点的位置要发生变化，即发生位移。如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，称这种位移为刚体位移。如果物体各点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体就同时也产生了形状变化，统称为该物体产生了变形。 2－1 一点的应变状态，应变与位移的关系 应变与位移的关系——几何方程 同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯西(Cauchy)方程 2-2 应变张量 应变张量 其中 由应力分析结果类推得到应变分析结果 有了应变张量，就可以完全利用应力分析中采用的方法，得到相应的应变分析结果。 具体作法就是，只要将应力分析中所得结果中的应力张量分量用相应的应变张量分量代替，即得到相应的应变张量分析结果。 下面举例说明 2－3 主应变 应变偏量 请写出下列参量的表达式： 最大剪应变 任意斜截面上的正应变和剪应变 应变等倾面上的正应变和剪应变 应变偏量不变量J?1、J2?、J3? 应变形式指数，应变状态特征角 应变罗德角，应变罗德参数 应变强度（等效应变） 绘出： 应变星圆 应变摩尔圆 2－4 应变协调方程 应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示； 已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；这是唯一确定的。 反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。 -------从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯一的位移解。 -------从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变间必须满足一定关系。称为相容性。 表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。 同理： 极坐标中平面应变问题的变性协调方程 轴对称平面应变问题 连续性方程是单连体小变形连续的必要和充分条件。 * 形变 —— 物体的形状改变 x y z O （1）线段长度的改变 （2）两线段间夹角的改变 P B C A ——用线（正）应变ε度量 ——用剪应变? 度量 （剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量） 三个方向的线应变： 三个平面内的剪应变： 一点形变的度量 应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负； 剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； 一点应变状态 —— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变 x y z O P B C A 其中 应变无量纲； 位移 注： 一点的位移 —— 矢量S 应变分量均为位置坐标的函数，即 x y z O S w u v P 位移分量： u —— x方向的位移 分量； v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。 量纲：m 或 mm 研究在oxy平面内投影的变形 P A B C A B C P PA = dx PB = dy PC = dz x y z O 一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； x y O P 考察P点邻域内线段的变形： A dx B dy u v 变形前 变形后 P A B u v 注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。 x y O P A dx B dy u v PA的正应变： PB的正应变： P点的剪应变： P点两直角线段夹角的变化 x y O P A dx B dy u v 整理得： ——几何方程 几何方程 （1） 几何方程反映任一点的位移(3个分量)与该点应变(6个分量)间的关系，是弹性力学的基本方程之一。 （2） 当 位移分量u、v 、 w已知，则6个应变分量可完全确定；反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。 （积分需要确定积分常数，由边界条件决定。） 说明： （3） 几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。 正应变 剪应变 应力分析 应变分析 将各应力张量分量用相应的应变张量分量替换 ??1, ?2, ?3 ? ?1, ?2, ?3 应变张量 应变分量 应变偏量张量 应变球张量 克罗内克尔（Kronecker）符号 第1式对y求两阶偏导 第2式对x求两阶偏导 两式相加： 将第4式代入得： 后三式分别对z、y 、x求偏导得： 同理： 连续性方程