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简化后得： 由于 ，利用物理、几何方程及中点导数公式，得： 对于边界上的结点，利用端点导数公式，得： 通过同样的计算，可见在所有各结点处都得到： 例2：设例1中的薄板改在下边受连干支承（光滑支承），如图7-38，试求自重引起的位移及应力。 解：在该题中，独立的未知值有 。相应的差分方程为： 简化后求解，得： 图7-38 的计算同例1。下面计算几点处的 及 ： 例3：设有矩形深梁，左右两边固定，上边受均布载荷 ，如图7-39。试求位移及应力。取 。 解：由于对称，独立的未知值有6个： 的差分方程为： 相应于 和 图7-39 相应于 和 的差分方程为： 相应于 和 的差分方程为： 将上列6个方程简化后联立求解，得位移分量为： 应力分量为： 而由应力边界条件有 。所以误差为 。其它应力数值的误差大致也属于这个量阶。为了得到较精确的应力数值，必须把网格加密。 说明：对于只具有应力边界条件的单连体平面问题，虽然也可以用位移差分解求得应力分量，但是，改用应力函数差分解时，同样的网格可以给出较精确的应力数值，而且计算工作量较少。因此，如果不须求出位移而只需求出应力，则毫无疑问的应当用应力函数差分解，而完全不必用位移差分解。 §7-9 多连体问题的位移差分解 一、内尖角处的结点位移差分方程 图7-40所示内尖角，两边的向外法线分别沿 轴及 轴的正向。结点0的领域如图中虚线所示，面积为 。该领域所受的沿 和 方向的外力总和（包括体力、面力）用 和 表示。由 方向的平衡条件有： 用位移分量的导数来表示应力分量，则上式成为： （a） 边界 边界 图 7—40 e i k 按照差分公式，有： 代入式（a），简化后，得相应于未知值 的差分方程： 差分式如图7-41所示。 边界 图 7—42 边界 边界 图 7—41 边界 同理，可得相应于未知值 的差分方程，差分式如图7-42所示。 二、多连体的位移差分解 设有 的正方形薄板，如图7-43，中间有 的正方形孔口，在上下两边受均布压力 。 由于对称，只需计算四分之一部分。独立的未知位移分量有12个，即： 。 取 ，相应于 的差分方程为： 图7-43 其余11个差分方程按§7-7中的差分图式列出。联立求解上述12个方程，得（以 为单位）： 应力分量可以和以前一样求得。但是，由于网格太疏，算出的应力数值只是粗略近似的，而内结点处的应力数值将具有特别大的误差。 《平面问题的差分解》习题课 [练习1]用差分法计算如图1所示基础梁的最大拉应力，并与材料力学的解答进行对比，采用 的网格，各结点编号如图所示。 解：由于对称，只需计算梁的一半，所以，只有两个独立的未知数 和 。 1.取梁底中点 作为基点，设 ， 利用边界结点的应力函数及其导数公式，计算边界上所有各结点处的 值。结果见下表。 图1 2.计算各虚结点的 值： 结点 3.建立内结点的差分方程： 4.计算虚结点的 值： 将边界点及虚结点的 值代入，简化得： 5.各结点处的应力分量，如 截面上三个结点的 分别为： 同理可算得 截面， 截面上的 以及各水平截面上的 ，各结点的剪应力也可求得。经比较基础梁内最大拉应力为 ，最大压应力为 ， 截面上 的分布见图所示。 6.分析：按材料力学方法计算， 截面的弯矩以及 点的正应力 分别为： 差分法计算出的最大拉应力、最大压应力分别比材料力学相应的解答小了43%与24%。但如果网格进一步细分，则将得到更精确的解答。 解：1.由结构及载荷的对称性，对网格进行编号如图，结点编号对称于 y 轴，其中结点1至结点6为内部结点，结点A至结点J为边界结点，结点7至结点13为外部虚结点。 [练习2]长和高均为 的矩形梁，上边界受集度为 的均布载荷作用，下边界的支座反力在 点范围内均匀分布,集度为 ，如图所示。设 ，试用差分法求梁内应力并画出 截面上的 和 截面上的 分布图。 y 图2 12 8 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 -4 0 0 0 J I D, E, F, G, H C B A 结点 2.取梁底中点A作为基点，设 ，计算出边 界上其他各结点的 ，见下表。 边界结点的 值及偏导数值 3.因为在上下边界上有 ，在左边界上有