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按应力求解平面问题时，无论是平面应力问题还是平面应变问题，应力分量除了满足平衡微分方程和相容方程外，在边界上还应当满足应力边界条件。 32 §2-10 常体力情况下的简化 可见，在常体力的情况下， 应当满足拉普拉斯微分方程（调和方程）， 应当是调和函数。 用记号 代表 ，上式简写为： 常体力下，两种平面问题的相容方程都简化为： 结论 在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量 、 、 的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量 ，以及形变和位移，却不一定相同）。 33 推论2 在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还可以用平面应变情况下的长柱形的结构或构件。 推论3 常体力的情况下，对于单连体的应力边界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便于解答问题和实验量测。 推论1 针对任一物体而求出的应力分量 、 、 ，也适用于具有同样边界并受有同样外力的其它材料的物体；针对平面应力问题而求出的这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同的平面应变情况下的物体。 34 §2-11应力函数。逆解法与半逆解法 一、应力函数 按应力求解应力边界问题时，在体力为常量的情况下，应力分量 、 、 应当满足平衡微分方程： （a） 以及相容方程 （b） 方程（a）的解包含两部分：任意一个特解和下列齐次微分方程的通解。 35 特解取为： 将齐次微分方程（c）中前一个方程改写为： 根据微分方程理论，一定存在某一个函数 ，使得： （c） （d） （e） （f） 36 同样将（c）中的第二个方程改写为： 也一定存在某一个函数 ，使得： （g） （h） 由式（f）及（h）得： 因而一定存在某一个函数 ，使得： （i） （j） 37 将式（i）代入（e），式（j）代入（g），并将式（i）代入（f），即得通解： （k） 将通解（k）与特解（d）叠加，即得微分方程（a）的全解： 函数 称为平面问题的应力函数，也称为艾瑞应力函数。 （1） 为了应力分量（1）同时也能满足相容方程（b），将（1）代入式（b），即得： 上式可简化为： 38 或者展开为： 进一步简化为： （2） 按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程（2）求解应力函数 ，然后用公式（1）求出应力分量，但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。 二、逆解法与半逆解法 逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程（2）的应力函 数 ，用公式（1）求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。 逆解法基本步骤： 39 半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分和全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。 设定 求出 应力分量 求出 面力（合力） 解决 什么问题 代入 代入 式（l） 应力边界条件 确定 半逆解法基本步骤： 设定 导出 应力表达式 得到 正确解答 满足 边界条件 满足 是 是 否 否 式（l） 应力边 界条件 40 《平面问题的基本理论》习题课 [练习1] 悬臂梁上部受线形分布载荷，如图所示。试根据材料力学中 的表达式，再用平衡微分方程导出 和 的表达式。 解：由材料力学知，过 点横截面 上的弯矩为： （1） 代入平衡微分方程，得： （2） 41 利用上、下面边界条件确定 将式（3）代入平衡微分方程中的第二式，得： （4） （3） 注意：式（1）、（3）、（4）表达的仅是静力可能的应力分量，若为正确解答，则还需满足以应力表示的相容方程。 42 [练习2] 如图所示为平面物体，角 和角 均为直角，其附近边界表面均不受外力，试说明 、 两点的应力状态。 解： 由于 点附近边界不受外力，该点的应力分量应满足如下边界条件： 即 点处于零应力状态。而 点处于凹角的顶点，该点所取的微分单元体的各个面均不是边界面，因此，其上的应力分量是未知的，未必为零，由理论分析知，