【优质】弹性力学平面问题的复变函数法.pptVIP

于是 当有m个内边界时，取 §5-5 无限大多连体的情形 当多连体的外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大的多连体，除上述条件外，还需考虑无限远的极限情况。 以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到 在sR之外的解析函数 于是 可写为 其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向的面力之和。 将多连通区域内的全纯函数φ*f和ψ*f展开为罗郎级数： 于是 由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，级数中n≥2的系数应为零。 同样从 中，由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，故有 其中略去了和应力无关的常数项。 于是 其中β与应力计算无关，可取为零，而 这时 当z→∞时，可得 同样当z→∞时，由 可得 从中可求得相应的系数，并可以看到在无限远处，应力的分布是均匀的。 系数 则 §5-6 含孔口的无限大板问题 以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到 改写为 其中 对于孔边上的点 将上列各式代入 就得到极坐标下圆周边界上的级数形式的应力边界条件。 设周边上的外力为已知，并将其展开为傅氏级数 比较两边eik?和e-ik?的系数，可得 由无限远处的应力条件，可得 由位移的单值条件有 及 可求得 再由 可求得 至此，全部系数均已求出。 例 设孔周边为均匀压力p，无限远处的应力为零。 则有 于是可求得 最后得到 根据上述方法，圆孔口无限大板的一般问题都可以得到解决。 习题5.1 试考察下列复变函数所解决的问题 (1) (2) 解: 基本公式为 (1) 将 分别代入(a)、(b)式 得 联立求解以上两式,得 所给的函数可以解决矩形薄板在x方向受均布拉力q的问题.如图5.1(a)所示 (2) 将 代入(a),(b)两式,得 x y q q 图5.1(a) 联立求解以上两式,得 所给的函数可以解决矩形薄板受纯剪切问题.如图5.1(b)示. q q x y 图5.1(b) 习题5.2 如图所示.试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解. 其中I为梁截面的惯矩,M为作用的弯矩. M y x z y 解: 基本公式为 将 代入(1)、(2)式 由(1)式得 即 或 由(2)式得 即 将(4)、(5)式联立求得 验证边界条件(3) 在侧面: 所以 由 得 由 得 故 即(3)式恒成立. 由解答 所表示的是一个纯弯时,梁横截面上的应力状态. 习题5.3 试导出用复变函数 及 表示极坐标中应力分量的公式 解: 因为在平面问题中 所以 又因为在平面问题中,有 则 因为 所以 习题5.4 试用公式 由 导出半平面体在边界上受集中力作用时的应力分量公式. r ? y r o P 解： 由 得 因为 而 所以 即 由（1）、（2）、（3）式得 * * 第五章 平面问题的复变函数法 直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。 §5-4 多连通域内应力与位移的单值条件 §5-3 边界条件的复变函数表示 §5-2 应力和位移的复变函数表示 §5-1 应力函数的复变函数表示 §5-6 含孔口的无限大板问题 §5-5 无限大多连体的情形 第五章 平面问题的复变函数法 §5-1 应力函数的复变函数表示 在第二章中已经证明，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数φ，它是位置坐标的重调和函数，即 现在，引入复变数z= x＋iy和z＝x－iy以代替实变数x 和y。注意 可以得到变换式 进而 令 于是可将方程式 变换成为 由 可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设f(z)为解析函数，可令 由 令 得 则 将上式对 积分，得到 再对z积分，得到 令 即 则 注意上式左边的重调和函数φ是实函数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的： 令 即得有名的古萨公式 也可以写成 于是可见，在常量体力的