2015届高考数学练透考纲真题：专题6 第26练.docVIP

第2练　空间几何体的三视图及表面积与体积 [内容精要]　三视图作为新课标新增加的内容，是多个省市高考的热点和重点：其考查形式多种多样，选择题、填空题和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识，涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明． 题型一　三视图识图 例1　将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为(　　) 破题切入点　根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题． 答案　B 解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线． 题型二　空间几何体的表面积和体积 例2　如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为(　　) A．36(π＋) B．36(π＋2) C．108π D．108(π＋2) 破题切入点　先根据三视图的结构特征确定几何体的构成——半圆锥与棱锥的组合体，然后把三视图中的数据转化为该组合体的数字特征，分别求出对应几何体的体积，则两者体积之和即该组合体的体积． 答案　B 解析　由俯视图，可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正视图和侧视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等． 由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r＝6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h＝＝6， 故半圆锥的体积V1＝×π×62×6＝36π. 三棱锥的底面积S＝×12×6＝36， 三棱锥的体积V2＝Sh＝×36×6＝72. 故该几何体的体积V＝V1＋V2＝36π＋72 ＝36(π＋2)．故选B. 题型三　立体几何中的综合问题 例3　(2014·陕西)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H. (1)求四面体ABCD的体积； (2)证明：四面体EFGH是矩形． 破题切入点　由三视图和几何体得知原几何体中各元素的量和性质来求解． (1)解　由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1， ∴AD⊥平面BDC， ∴四面体ABCD体积V＝××2×2×1＝. (2)证明　∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG. ∴四边形EFGH是矩形． 总结提高　(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高． (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． (3)立体几何中有关表面积、体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等． 1．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　) 答案　D 解析　由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D. 2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm，底面半径为2 cm，右面圆柱的高为2 cm，底面半径为3 cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为＝. 3．(2014·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　) A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2 答案　D 解析　该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋＝99＋39＝138(cm2)． 4．(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　) A．54 B．60 C．66 D．72 答案　B 解析　由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂