2015届高考数学练透考纲真题：专题5 第24练.docVIP

第2练　常考的递推公式问题的破解方略 [内容精要]　数列的通项公式可以说是数列问题的核心问题，如果可以由题目条件求得通项公式，可以说数列问题便可迎刃而解，因此求通项公式显得尤为重要，本节主要介绍由条件求通项公式的一些方法技巧． 题型一　由相邻两项关系式求通项公式 例1　已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝n 破题切入点　对条件因式分解． 答案　B 解析　由(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0， 得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0， 又an0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an， 即＝，an＋1＝an， 所以an＝··…·a1＝a1(n≥2)， 所以an＝(n＝1适合)， 于是所求通项公式为an＝. 题型二　已知多项间的递推关系求通项公式 例2　已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，则数列{an}的通项公式为________． 破题切入点　求证{－}为等差数列，再利用累加法求得，便可求得an. 答案　an＝ 解析　∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1. ∴＝＋＋＋…＋＝＝n＋1. ∴＝n＋1，∴an＝. 题型三　构造法求通项公式 例3　(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an； (2)已知a1＝1，an＋1＝，求an. 破题切入点　观察条件，联想学过的数列来构造． 解　(1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＋1＝2≠0， 于是可知{an＋1}为以2为首项2为公比的等比数列． 即an＋1＝2n，∴an＝2n－1， ∴所求通项公式为an＝2n－1. (2)由an＋1＝得－＝1(常数)， 又＝1，∴{}为1为首项，1为公差的等差数列， ∴＝n，从而an＝， 即所求通项公式为an＝. 总结提高　求数列通项公式常见的方法： (1)观察法：利用递推关系写出前n项，根据前n项的特点观察，归纳猜想出an的表达式． (2)利用前n项和与通项的关系an＝ (3)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an. (4)在已知数列{an}中，满足＝f(n)且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an. (5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 1．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知得a2＝1＋(－1)2＝2， ∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝， ∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3， ∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝， ∴＝×＝. 2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a1＝300，则a10为(　　) A．350 B．300 C．400 D．450 答案　B 解析　依题意，得消去bn， 得an＋1＝an＋150. 由a1＝300，得a2＝300； 由a2＝300，得a3＝300； …… 从而得a10＝300，故选B. 3．已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a2 015等于(　　) A．2 014 B．2 009 C．1 005 D．1 006 答案　A 解析　因为f(x)＝log2＋1， 所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2. 所以f()＋f()＝2， f()＋f()＝2，…， f()＋f()＝2， 由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1， 所以a2 015＝2 015－1＝2 014，故选A. 4．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________． 答案　an＝5n－3×2n－1 解析　在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1， 得＝×＋，① 令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋， 即bn＋1－1＝(bn－1)， 所以数列{bn－1}是等比数列， 其首项为b1－1＝－1＝－， 公比为. 所以bn－1＝(－)×()n－1， 即bn＝1－×()n－1＝， 故an＝5n－3×2n－1. 5．数列{an}的前n项和Sn满足2SnSn－1＝an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________． 答案　an＝ 解