2015届高考数学练透考纲真题：专题4 第22练.docVIP

第2练　关于平面向量数量积运算的三类经典题型 [内容精要]　平面向量数量积是平面向量中的一种重要运算，有着非常广泛的运算，尤其是在计算夹角和向量的模时无可替代，要准确记忆公式． 题型一　平面向量数量积的基本运算 例1　已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为(　　) A．－4＋ B．－3＋ C．－4＋2 D．－3＋2 破题切入点　对于四边形OAPB中变化的量，可以是切线的长度、也可以是∠APB，这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示·；还可以建立平面直角坐标系，使问题数量化． 答案　D 解析　方法一　设||＝||＝x，∠APB＝θ， 则tan ＝， 从而cos θ＝＝. ·＝||·||·cos θ ＝x2·＝ ＝ ＝x2＋1＋－3≥2－3， 当且仅当x2＋1＝， 即x2＝－1时取等号， 故·的最小值为2－3. 方法二　设∠APB＝θ，0θπ， 则||＝||＝. ·＝||||cos θ ＝()2cos θ ＝·(1－2sin2) ＝. 令x＝sin2，0x≤1， 则·＝ ＝2x＋－3≥2－3， 当且仅当2x＝，即x＝时取等号． 故·的最小值为2－3. 方法三　以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy， 则圆O的方程为x2＋y2＝1， 设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0,0)， 则·＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝x－2x1x0＋x－y. 由OA⊥PA·＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0 x－x1x0＋y＝0， 又x＋y＝1， 所以x1x0＝1. 从而·＝x－2x1x0＋x－y ＝x－2＋x－(1－x) ＝2x＋x－3≥2－3. 故·的最小值为2－3. 题型二　利用平面向量数量积求两向量夹角 例2　若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为(　　) A. B. C. D. 破题切入点　先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系，然后分别求出所求向量的数量积与模，代入公式求解即可；也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解． 答案　A 解析　方法一　由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方， 整理可得a·b＝0.① 由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方， 可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.② 将①代入②，得b2＝3a2， 即|b|＝|a|. 而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2， 故cos〈b，a＋b〉＝ ＝＝＝. 又〈b，a＋b〉∈[0，π]， 所以〈b，a＋b〉＝. 故选A. 方法二　如图，作＝a，＝b， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|， 可得||＝||＝2||， 所以平行四边形OACB是矩形， ＝＝a. 从而||＝2||. 在Rt△BOC中，||＝ ＝||， 故cos∠BOC＝＝， 所以∠BOC＝. 从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝，故选A. 题型三　利用数量积求向量的模 例3　已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________． 破题切入点　建立平面直角坐标系，利用点坐标表示出各向量，或用向量的关系一一代换得出最简式，从而求出最小值． 答案　5 解析　方法一　以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x. ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， ＝(2，－x)，＝(1，a－x)， ∴＋3＝(5,3a－4x)， |＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25， ∴|＋3|的最小值为5. 方法二　设＝x(0x1)， ∴＝(1－x)， ＝－＝－x， ＝＋＝(1－x)＋， ∴＋3＝＋(3－4x)， |＋3|2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2·2＝25＋(3－4x)22≥25， ∴|＋3|的最小值为5. 总结提高　(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择，注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”． (2)求向量的夹角时要注意：①向量的数量积不满足结合律，②数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角．  1．(2014·课标全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 答案　A 解析　|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2