2015届高考数学练透考纲真题：专题4 第21练.docVIP

第2练　平面向量中的线性问题 [内容精要]　平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点． 题型一　平面向量的线性运算 例1　如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　) A.－B.＋ C.＋ D.－ 破题切入点　顺次连接，选好基底． 答案　D 解析　在△CEF中，有＝＋. 因为点E为DC的中点，所以＝. 因为点F为BC的一个三等分点，所以＝. 所以＝＋ ＝＋ ＝－，故选D. 题型二　平面向量基本定理及其应用 例2　如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，. 破题切入点　利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量． 解　在△ADM中， ＝－＝c－.① 在△ABN中， ＝－＝d－.② 由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)． 题型三　平面向量的坐标运算 例3　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 破题切入点　向量坐标表示下的线性运算． 解　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. (3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)． 由题意得 得或 ∴d＝(3，－1)或(5,3)． 总结提高　(1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础． (2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　) A．(，－) B．(，－) C．(－，) D．(－，) 答案　A 解析　由题意知＝(3，－4)， 所以与同方向的单位向量为＝(，－)． 2．(2014·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝(＋) ＝·2＝. 3．(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵＝＋λ，＝＋μ， ∴·＝(＋λ)·(＋μ) ＝·＋μ·＋λ·＋λμ· ＝2×2×(－)＋4μ＋4λ＋2×2×(－)λμ ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1. ∴2(λ＋μ)－λμ＝.① ∵·＝(1－λ)·(1－μ) ＝(λμ－λ－μ＋1)· ＝2×2×(－)(λμ－λ－μ＋1) ＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－， ∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，即λμ－(λ＋μ)＝－.② 由①②解得λ＋μ＝. 4．(2014·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4. 5.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝2，||＝，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则(　　) A．λ＝4，μ＝2 B．λ＝，μ＝ C．λ＝2，μ＝ D．λ＝，μ＝ 答案　C 解析　设与，同方向的单位向量分别为a，b， 依题意有＝4a＋2b， 又＝2a，＝b， 则＝2＋， 所以λ＝2，μ＝. 6．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n (m，n0)，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C. D．9 答案　C 解析　＝－ ＝－＝＋. 同理＝＋，M，O，N三点共线， 故＋＝λ， 即＋＝0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2， 故＋＝(m＋n) ＝≥(5＋4)＝. 7．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝